21.8　有限差分法

有限差分法（finite difference）通过求解衍生产品价格所满足的微分方程来达到定价的目的，在求解过程中，微分方程被转换成一组差分方程。我们可以通过迭代的方式来求出差分方程的解。

为了说明这种方法，我们考虑如何用它来对一个股息收益率为q的股票上美式看跌期权进行定价。由式（17-6）得出，期权价格满足微分方程

假设期权的期限为T，我们将期限分成N个等间隔、长度为Δt=T/N的时间区间，因此我们需要考虑N+1个时间点

0，Δt，2Δt，…，T

假设S_max为足够大的股票价格，一旦股票达到这一价格时，看跌期权的价值几乎为0。我们定义

ΔS=S_max/M，并考虑M+1个具有同样间隔的股票价格

0，ΔS，2ΔS，…，S_max

我们在选取S_max时保证这些值中有一个刚好对应于股票的当前价格。

如图21-15所示，我们选取的股票价格和时间构成了一个共有（M+1）（N+1）个点的网格。网格上的点（i，j）对应的时间为iΔt，股票价格为jΔS。我们用变量f_i，j代表（i，j）点的期权价格。

图21-15　有限差分网格

21.8.1　隐式有限差分法

对于网格内部的点（i，j），可被近似为

或者

式（21-22）叫作向前差分近似（forward difference approximation），式（21-23）叫作向后差分近似（backward difference approximation）。将以上两种差分加以平均，我们可以得出一个对称的差分方程

对于，我们将采用向前差分近似，从而iΔt时刻的值与（i+1）Δt的有关

下面我们考虑。（i，j）点的向后差分近似地由式（21-23）给出。在（i，j+1）点的向后差分近似为

因此在（i，j）点的有限差分近似为

或者

将式（21-24）、式（21-25）和式（21-26）代入微分方程式（21-21），并且注意S=jΔS，得出

其中j=1，2，…，M-1，i=0，1，…，N-1。将方程进行整理，我们得出

其中

看跌期权在时间T的值为max（K-S_T，0），其中S_T为股票在T时刻的价格，因此

当股票价格为0时，看跌期权的价格为K，因此

我们假定当S=S_max时，期权价格为0，因此

式（21-28）、式（21-29）和式（21-30）定义了看跌期权在图21-15所示网格的三个边上的取值，这三个边分别对应S=0，S=S_max和t=T。接下来，我们要利用式（21-27）来计算f在其他节点的值。当i=N-1时，式（21-27）可写为

其中j=1，2，…，M-1。由式（21-28）我们知道方程右端的值，而且由式（21-29）和式（21-30）我们得出

式（21-31）同时给出了关于M-1个未知量的M-1个方程，这些未知量为f_N-1，1，f_N-1，2，…，f_N-1，M-1。（注：解方程时并不需要对矩阵求逆。式（21-31）在j=1时可将f_N-1，2来由f_N-1，1表达；在j=2时，与j=1时的方程一起可将f_N-1，3由f_N-1，1表达，等等。在j=M-2时与前面的方程一起，可将f_N-1，M-1由f_N-1，1表达。最终对应j=M-1的方程可用来对f_N-1，1求解。一旦f_N-1，1确定后，我们可以得出其他f_N-1，j。）一旦以上未知量确定后，我们将f_N-1，j与K-jΔS进行比较。如果f_N-1，j<K-jΔS，那么在时间T-Δt行使期权是最优的，这时我们将f_N-1，j设定为K-jΔS。在时间T-2Δt的节点可用相似的方式处理，等等。最终，我们可以得出f_0，1，f_0，2，f_0，3，…，f_0，M-1，其中的一个价格即为我们寻求的期权价格。

控制变量技巧可以与有限差分法并用。在定价过程中，一旦设定时间和标的资产的网格后，我们采用同样的网格来对于一个类似但具有解析解的期权进行定价，然后利用式（21-20）。

例21-10

表21-4显示了由隐式方法求出的例21-1中美式看跌期权的数值解。在这里，参数M，N和ΔS分别等于20美元、10美元和5美元。因此，在定价过程中，我们将0美元和100美元之间分成了每5美元一个的价格区间，并同时将期权期限分成了每半个月一步的时间段。由这一网格得出的期权的价格为4.07美元，由同一网格给出的欧式期权价格为3.91美元，布莱克-斯科尔斯-默顿公式给出的欧式期权准确值为4.08美元。因此，由控制变量技巧得出的美式期权价格近似值为

4.07+（4.08-3.91）=4.24（美元）

表21-4　采用隐式差分来计算例21-1中美式期权价格的网格

21.8.2　显式有限差分法

隐式差分方法的优点在于其稳定性，当ΔS和Δt趋于0时，由隐式差分方法得出的数值解总是收敛于微分方程的解，（注：有限差分法的一个通用规则是当ΔS和Δt趋于0时，应保证ΔS与成一定比例。）但其中一个缺点是由f_i+1，j的值计算f_i，j时，我们必须同时对M-1个方程求解。当假设和的值在点（i，j）上与（i+1，j）上相等时，有限差分法可以得到简化。这时式（21-24）和式（21-26）变为

差分方程变为

即

其中

这样我们就产生了所谓的显式有限差分法（explicit finite difference method）。（注：对于采用向后差分近似（而不是向前差分近似），我们同样可以得出显式有限差分法。）图21-16显示了隐式差分法与显式差分法的区别。由式（21-27）定义的隐式差分给出了iΔt时刻的3个不同的期权值（即f_i，j-1，f_i，j和f_i，j+1）与（i+1）Δt时刻的1个期权值（即f_i+1，j）之间的关系；由式（21-34）定义的显式差分给出了iΔt时刻的1个不同的期权值（即f_i，j）与（i+1）Δt时刻的3个期权值（即f_i+1，j-1，f_i+1，j和f_i+1，j+1）之间的关系。

图21-16　显式差分和隐式差分的区别

例21-11

表21-5给出了通过显式有限差分为例21-1中的美式看跌期权定价的结果。同例21-10中一样，参数M、N和ΔS分别等于20美元、10美元和5美元。由网格所得出的期权价格为4.26美元。^[1]

表21-5　通过显式差分法计算例21-1中美式期权价格的网格

21.8.3　变量替换

如果利用几何布朗运动来描述标的资产价格，在应用有限差分法时以lnS作为标的变量比以S作为标的变量会更有效。定义Z=lnS，式（21-21）变为

这时为了给衍生产品定价，我们应该针对Z设定等距离网格，而不是针对S设定等距离网格。在隐式法中，微分方程变为

即

其中

在显式法中，差分方程为

即

其中

经过变量替换后，参数α_j，β_j和γ_j以及都有独立于j的特征。在大多数情况下是个很好的选择。

21.8.4　与三叉树法的关系

显式有限差分法与三叉树法等价。^[2]式（21-34）中参数可以理解为

这种解释显示在图21-17上。这3个概率的和等于1。这些概率保证在Δt时间后，股票价格的增长期望为（r-q）jΔSΔt=（r-q）SΔt，这恰恰是股票价格在风险中性世界的增长值期望。当Δt很小时，这些概率同时也保证在Δt时间内股票价格变动的方差为σ²j²ΔS²Δt=σ²S²Δt，这恰恰对应于S所服从的随机过程。f在iΔt时刻的值等于将（i+1）Δt时刻的f值在风险中性世界里的期望以无风险利率加以贴现。

图21-17　将显式差分法解释为三叉树

为了保证能够使用显式有限差分法，以下3个“概率”必须为正

在例21-11中，当j≥13时（即当S≥65时），1-σ²j²Δt为负。这给出了在表21-5的左上角期权价格为负和其他矛盾的原因。这个例子说明了显式差分法的主要问题：因为树形结构中的概率可能为负，由此得出的数值解不一定收敛于微分方程的解。^[3]

当利用变量替换时（见式（21-36）~式（21-39）），变量Z=lnS减少ΔZ、保持不变、增加ΔZ的概率分别为

Z的这些变化值对应于S的变化值分别为Se^-ΔZ、S和Se^ΔZ的S的变化值。如果取，这里得出的树形和概率与21.4节中的三叉树结果相同。

21.8.5　其他差分法

研究人员提出了许多种关于求解微分方程的有限差分方法，其中有些方法中既包含显式有限差分的特性，也包含隐式方法的特性。

在所谓的跳格法（hopscotch method）中，当从一个节点转向另一个节点时，我们交替地使用隐式格式和显式格式，图21-18说明了这一方法。在每个时刻，我们首先按通常的显式方法在显式节点（E）完成计算，然后，我们可以不需要求解方程组就可以得到在隐式节点（I）上的数值解，这是因为我们已经得出了与隐式节点相邻节点上的取值。

图21-18　跳格差分法（I代表隐式节点，E代表显式节点）

在Crank-Nicholson法（Crank-Nicholson scheme）中，被设定为隐式法与显式法的平均。

21.8.6　有限差分法的应用

对于任何树形方法适用的衍生产品，有限差分法也适用。它们既可以用来处理欧式期权定价，也可以用来处理美式期权定价，但这一方法很难用于衍生产品收益与标的变量历史价格有关的情形。有限差分法可用于多标的变量的情形，但计算时间会大大增加，因为这时图21-15的网格会变成多维的形式。

在有限差分法中，计算希腊值的方法与树形法类似。Delta，Gamma和Theta可以直接由f_i，j在网格上的值得出。对于Vega，我们需要对波动率做一个很小的变化，然后再由同一个网格计算衍生产品的数值解。

[1] 稍后我们将解释造成网格左上边出现负数和其他矛盾的原因。

[2] 我们可以证明隐式与多叉树（multinomial tree）等价，在多叉树的每个节点上，股票总共有M+1个价格变动。

[3] 见J.Hull and A.White，“Valuing Derivative Securities Using the Explicit Finite Difference Method，”Journal of Financial and Quantitative Analysis，25（March 1990）：87-100。这篇文章提出了如何克服这一问题的方法。对这里所考虑的情况，只要构造关于lnS（而不是S的网格），就可以保证算法的收敛性。