27.5　路径依赖型衍生产品

一个路径依赖型衍生产品（path-dependent derivative）（也被称为依赖历史衍生产品（history-dependent derivative））是指收益与标的资产的路径有关（而不仅仅只与标的资产的最终价格有关）的衍生产品。亚式期权和回望期权是依赖路径衍生产品的例子。如第26章所示，亚式期权的收益依赖于标的资产价格的平均值，回望期权的收益依赖于资产价格在期权期限内取得的最大值或最小值。当不存在解析解时，一种对依赖路径衍生产品定价的方法是在第21章中讨论过的蒙特卡罗模拟法。在蒙特卡罗模拟法中，我们首先模拟标的资产变量在风险中性世界里所遵循的路径，然后计算期权收益，并以无风险利率对收益进行贴现。由此我们可以得出一个样本。通过这种方式我们可以产生许许多多的样本，而样本的均值即为衍生产品价格的近似值。

如果想达到一定的精度，蒙特卡罗模拟法可能会需要很长的运算时间，这是蒙特卡罗模拟法的主要问题。再有，我们很难将蒙特卡罗法用于依赖路径美式期权（即衍生产品的收益依赖路径，同时期权的持有方有权提前行使期权）。在这一节里，我们将说明如何推广在第21章里所讨论的二叉树法来对依赖路径衍生产品定价。^[1]这里的方法可以用来处理依赖路径美式期权定价。对于依赖路径欧式衍生产品，这一方法比蒙特卡罗法更加有效。

为了保证这一方法可以运作，以下两个条件必须成立：

（1）衍生产品收益只与标的变量路径的一个函数F有关；

（2）F在时刻τ+Δt的值可以由F在时刻τ的值和标的变量在τ+Δt的值来计算。

27.5.1　回望期权例解

为了说明算法，我们首先考虑无股息股票上的美式浮动回望期权。^[2]如果在时刻τ行使期权，期权收益等于在0与τ之间股票价格的最大值与股票当前价格的差。假定股票的初始价格为50美元，波动率为每年40%，无风险利率为每年10%，期权的期限为3个月，股票价格的变动由一个3步二叉树来表达。采用通常的符号，S₀=50，σ=0.4，r=0.10，Δt=0.08333，u=1.1224，d=0.8909，a=1.0084和p=0.5073。

树形结构如图27-3所示。节点上方的数值为股票价格，下一层的数值为股票价格在到达该节点可能路径上的最大值，最下层的数值为衍生产品的价值。对应每个可能的最大值都会有一个相应的衍生产品价值。

期权在树形最后节点上的值等于股票的最大值减去实际股票价格。为了说明倒推计算过程，假定我们正处在节点A上，相应的股票价格为50美元。在这一点上，股票价格所取的最大值或者为56.12美元，或者为50美元。我们首先考虑最大值为50美元的情形。如果股票价格往上移动时，股票的最大值变为56.12美元，相应的期权价值为0；如果股票价格向下移动时，股票的最大值仍为50美元，相应的期权价值为5.45美元。在没有提前行使的条件下，在节点A上，对应最大值为50美元的情形，期权价值等于

显然，在节点A我们不应该提前行使期权，因为由行使期权所带来的收益为0。通过类似的计算我们可以得出，在节点A对应于最大值为56.12美元的情形，在没有提前行使的前提下期权价值等于

这时，提前行使期权的收益为6.12美元，因此提前行使期权为最优。按照以上说明的方式，在树形结构上进行倒推计算，我们得出美式回望期权的价格为5.47美元。

图27-3　美式回望期权的定价树形结构

27.5.2　推广

随着时间步数的增长，如果节点上的路径函数F取值的个数增长不太快，从数值计算的角度来看，以上描述的方法切实可行。以上考虑的回望期权例子满足这个条件，因为在一个n步二叉树上，每一节点对应的不同最大值不会超过n。

幸运的是，以上方法可以推广到路径函数F取很多值的情形。基本处理方式如下：在每个节点上，我们只对路径函数F所取的少数具有代表意义的值进行计算。当需要其他路径函数值时，我们可以采用插值法来从已知的数值上求取。

计算的第1步，是以向前推进的方式在树形结构的每一个节点上建立路径函数的最大值和最小值。假定路径函数在时刻τ+Δt的取值可以由路径函数在时刻τ的值和标的变量在τ+Δt的值来计算，路径函数在时刻τ+Δt的最大值和最小值可以直接由路径函数在时刻τ的最大值和最小值来计算。计算的第2步，是在每个节点上选取具有代表意义的路径函数值。做法有很多种，一种做法是选取最大值和最小值以及介于它们之间其他相同间隔的中间值。当我们在树形上进行倒推计算时，对于每个路径函数的代表值，我们都要计算相应衍生产品的价值。

我们将通过考虑26.13节例26-3中的平均价格看涨期权来说明计算过程，在这里期权的收益依赖于股票平均价格。股票的初始价格为50美元，执行价格为50美元，无风险利率为10%，股票价格波动率为40%，期限为1年。在计算中，我们采用20步的二叉树。二叉树的参数为Δt=0.05，u=1.0936，d=0.9144，p=0.5056和Δt=0.4944。路径函数为股票价格的算术平均值。

图27-4显示了在树形上的一部分运算过程。节点X为0.2年时（树形的第四步）的中心节点，节点Y和Z为0.25年时与X节点相连接的两个节点，在X节点上的股票价格为50美元。由向前归纳可以得出在节点X，股票价格平均值的最大值为53.83美元，最小值为46.65美元（在计算平均值时，我们包括最初以及最后的股票价格）。节点X分叉出节点Y和Z。在节点Y，股票价格为54.68美元，平均值的上下界分别为57.39美元和47.99美元；在节点Z，股票价格为45.72美元，平均值的上下界分别为52.48美元和43.88美元。

图27-4　算术平均值期权定价的局部计算

假定我们选择的路径函数代表值为介于最小与最大值之间4个等间隔点（包括最小与最大值本身）。因此，在节点X，我们考虑46.65、49.04、51.44和53.83；在节点Y，我们考虑47.99、51.12、54.26和57.39；在节点Z，我们考虑43.88、46.75、49.61和52.48。假设通过向后归纳，我们已经计算出了对应于节点Y和Z上代表值的期权价值。图27-4展示了计算结果（例如，在节点Y，当平均值等于51.12时，相应的期权价值为8.101）。

考虑在节点X上当平均值等于51.44时的计算过程。如果股票价格上升到节点Y，新的平均值为

在节点Y上，对应于这一新的平均值，衍生产品的价值等于平均值为51.12和54.26所对应衍生产品价值的插值，即

类似地，如果股票价格下降到节点Z，新的平均值为

通过插值，我们得出相应的衍生产品价值为4.182。

因此，对应于平均值51.44，衍生产品的价值为

对节点X上其他代表值也可以通过类似的方法处理。一旦完成了对应于0.2年上节点的计算，我们可以接着考虑对应于0.15年的节点。

在0时刻由整个树形得出的期权价值为7.17。当时间步数和节点上的代表值数量增加时，期权价格将会收敛于正确解。由60步树形和100个平均代表值得出的期权价格为5.58。在例26-3中计算出的解析近似解为5.62。

这里所讨论方法的主要优点在于它可被用于处理美式期权。对于美式期权，计算过程同以上描述相似，唯一区别是对于每个代表值，我们均要检验是否应提前行使期权（在实际中，提前行使期权的决策可能会与路径函数取值和标的资产价值都有关）。在以上期权为美式期权的情形下，由20步树形与4个平均代表值得出的期权价格为7.77，由60步树形与100个平均代表值得出的期权价格为6.17。

这里描述的方法可以用于许多不同的情形，在这一节的开始我们列出了该方法可行性的2个条件。在方法的实现过程中，采用二次插值的效率会高于线性插值。

[1] 这一方法最先由赫尔和怀特提出，见J.Hull and A.White，“Efficient Procedures for Valuing European and American Path-Dependent Options，”Journal of Derivatives，1，1（Fall 1993）：21-31。

[2] 这一例子只是为了说明针对依赖路径产品的一般计算方法，关于美式回望期权更有效的定价方法，见网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes里的Technical Note 13。