26.7　复合期权

复合期权（compound option）是期权上的期权。复合期权主要有4种类型：看涨-看涨期权、看涨-看跌期权、看跌-看涨期权、看跌-看跌期权。复合期权有两个执行价格和两个到期日。例如，考虑如下看涨-看涨期权：在第1个到期日T₁，复合期权持有人有权支付K₁的执行价格来获得看涨期权，所得看涨期权给期权持有人按第2个执行价格K₂在第2个到期日T₂买入资产的权利。只有第2个期权在第1个到期日时的价格高于第1个执行价格时，复合期权才会被行使。

在通常的几何布朗运动假设下，欧式复合期权的价格可由解析公式来表达。^[1]解析公式涉及二元正态函数的计算。采用通常的符号，欧式看涨-看涨期权的价格为

其中

其中M（a，b；ρ）代表第1个变量小于a、第2个变量小于b、相关系数为ρ的2元正态累积分布函数。^[2]变量S对应于在时间T₁、期权价格等于K₁的资产值。在时间T₁，如果资产价格大于S，第1个期权将被行使；如果资产价格小于S^*，第1个期权在到期时价值为0。

利用类似的符号，欧式看跌-看涨期权的价格为

欧式看涨-看跌期权的价格为

欧式看跌-看跌期权的价格为

[1] 见R.Geske，“The Valuation of Compound Options，”Journal of Financial Economics，7（1979）：63-81；M.Rubinstein，“Double Trouble，”Risk，December 1991/January 1992：53-56。

[2] 在网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes里的Technical Note 5中有关于计算M的数值算法。