18.7　期货价格在风险中性世界的漂移率

我们可以利用一种更广义的结果来将17.3节中的分析用到期货期权上。这一结果是：在风险中性世界里，期货价格的变化等价于支付股息收益率为国内无风险利率r的股票。

期货二叉树上关于p的方程与股票二叉树上当q=r时的概率方程一致（比较式（18-6）与式（17-15）和式（17-16）），从这一现象中我们可以得出一些线索。另外一些线索是期货期权的看跌-看涨期权平价关系式与将股票价格换成期货价格、令q=r时等同（比较式（18-1）和式（17-3））。

为了严格地证明以上结果，我们需要计算期货价格在风险中性世界里的漂移率。定义F_t为时刻t的期货价格，并且假设结算日期为时刻0，Δt，2Δt，…如果在0时刻进入期货多头，其价值为0。在时刻Δt，期货的收益为F_Δt－F₀。如果r为在0时刻一段很短时间（Δt）区间的利率，那么由风险中性定价方法得出在0时刻，合约收益的价值为

其中为风险中性世界的期望。因此我们必须有

从而

类似，我们可以证明［F_2Δt］=F_Δt，［F_3Δt］=F_2Δt，等等。将所有这些结果放在一起后，我们可以看到对于任意时刻T

因此，在风险中性世界里，期货价格的漂移率为0。由式（17-7）得出，期货价格类似于股息收益率q等于r的股票价格。这一结果具有一般性，它对所有的期货价格均成立，并且与关于利率、波动率等的假设无关。^[1]

在风险中性世界里，通常假设F服从以下过程

其中σ为常数。

微分方程

为了从另外一个角度来说明期货价格类似于股息收益率为q的股票，我们可以推导期货价格上衍生产品所满足的微分方程。推导方法类似于在15.6节中无股息股票上衍生产品所满足的微分方程的推导。期货价格上衍生产品的价格满足微分方程^[2]

这与在式（17-6）中将q取成r的形式相同。这验证了在对衍生产品定价时，我们可以将期货价格看成股息收益率为r的股票。

[1] 在第28章里，我们将发现这一结果的准确描述是：“一个期货价格在定价单位为货币市场账户的传统风险中性世界里的漂移率为零。”一个具有零漂移率的随机过程被称为鞅。远期价格在另一个风险中性世界中为鞅，这一世界的定价单位为在时刻T到期的零息债券。

[2] 关于这个结果的证明，参见网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes中的Technical Note 7。