33.6　具有内含期权的互换

一些互换带有内含期权。在本节中，我们考虑一些常见的例子。

33.6.1　计息互换

计息互换（accrual swap）是一种一方的利息只有在浮动参考利率介于某个区间时才会累计的互换。有时区间会在整个互换期间保持不变，有时会被定期重新设定。

作为计息互换的一个例子，考虑一个在每季度将固定利率Q与3个月LIBOR相交换的交易。我们假定只有当3个月LIBOR的年率低于8%时，固定利率才会累计。假设本金是L。在一个普通互换中，在每个支付日固定利率支付方将会付出QLn₁/n₂，其中n₁是前一个季度里的天数，n₂是一年里的天数（这里我们假定计天方式是“实际天数/实际天数”）。在一个计息互换中，这一项变成了QLn₃/n₂，其中n₃是在上一个季度里3个月LIBOR低于8%的天数。固定利率支付方在每当3个月LIBOR高于8%的日子里可以节省QL/n₂。^[1]固定利率支付方的头寸可以当成等价于一个普通互换与一系列在互换有效期内每天都有的两值期权（binary option）之和。当3个月LIBOR高于8%时，两值期权的收益为QL/n₂。

为了推广，我们假设LIBOR的截止利率是为R_K（在刚才考虑的情形下是8%），而且每τ年交换一次支付。考虑在互换有效期内的第i天，并且假设到第i天的时间是t_i。如果在第i天时τ年LIBOR利率是R_i，当R_i<R_K时利息才会累计。定义F_i为R_i的远期值，σ_i为F_i的波动率（后者可以通过上限单元的即时波动率来估计）。利用通常的对数正态分布假设，在一个对于时间t_i+τ到期的零息债券是远期风险中性的世界里，LIBOR大于R_K的概率为N（d₂），其中

两值期权收益被实现的时间是在第i天之后的支付日。假设这个时间是s_i。在一个对于时间s_i到期的零息债券是远期风险中性的世界里，LIBOR大于R_K的概率为，其中计算与d₂的公式是一样的，只需对F_i做一个很小的时间调整来反映时间t_i+τ与s_i之间的差别。

对应于第i天的两值期权价值为

将互换有效期内每一天上的这个表达式加在一起，我们即可得到两值期权的总价值。由于时间调整（使得d₂被代替）非常小，所以在实际中常常被忽略。

33.6.2　可取消互换

可取消互换（cancelable swap）是一个简单的利率互换交易，但其中一方有权决定在某一日期或多个日期上终止交易。终止一个利率互换交易与进入一个反方向利率互换等价。考虑微软与高盛之间的一个互换交易：如果微软有权取消互换，微软的头寸等价于一个普通利率互换与一个进入相反方向互换期权的长头寸组合；如果高盛有权取消互换，微软的头寸等价于一个普通利率互换与一个进入相反方互换期权的短头寸组合。

如果可取消日期只有一个，这时可取消互换等价于一个普通利率互换与一个欧式期权的组合。例如在一个10年的利率互换中，微软付出LIBOR，同时收入6%固定利率。假定微软有权在第6年年末取消利率互换，那么对于微软而言，这一可取消互换等价于一个收入6%固定利率、付出LIBOR的普通利率互换，加上一个6年期限、进入4年期付出6%固定利率而收入LIBOR的互换期权（此期权被称为6×4欧式互换期权）。我们可以采用第29章里的标准互换期权模型来进行定价。

如果可取消互换可在一系列日期上被取消时，此互换等价于一个普通利率互换与一个百慕大式互换期权的组合。例如，微软与某对手进行了一个5年互换交易，微软每半年收入6%固定利率，同时付出LIBOR。假定微软的交易对手在2~5年的每一个付款日均有权终止互换，对微软而言，此交易等价于一个普通利率互换与一个百慕大式互换期权的短头寸的组合：百慕大期权的持有者有权进入5年期限、收入6%固定利率，同时付出LIBOR的利率互换。期权行使日期为2~5年的每一个付款日。在第31章和第32章中，我们曾讨论过如何对百慕大式互换期权定价的方法。

33.6.3　可取消复合互换

有时复合互换可以在特定的时期上被终止，浮动利息方支付将浮动利息复合到终止时间的数量，而固定利息方支付将固定利息复合到终止时间的数量。

一些技巧可以被用来对可取消复合互换（cancelable compounding swap）定价。首先假设浮动利率为LIBOR，并按LIBOR贴现和复利。我们假定在互换有效期末，固定利率方和浮动利率方都收取互换的本金数量。这与在考虑普通互换时从表7-1到表7-2是类似的。这样做并不改变互换的价值，但可以使得浮动利率方的价值在支付日上总是等于本金面值。在决定是否取消互换时，我们只需要注意固定利率方。我们构造一个像在第31章中所描述的利率树形，然后由通常在树上以向后倒推的方式计算固定利率方的价值。在每个可以取消互换的节点上，我们检验取消互换还是保留互换为最优。取消互换的效果是将固定利率方设成面值。如果我们支付固定利率而收取浮动利率，我们的目标是将固定利率方的值最小化；如果我们是收取固定利率而支付浮动利率，那么我们的目标是将固定利率方的值最大化。

当浮动利率方为LIBOR加上一个利差而且按LIBOR复利时，与其将利差所对应的现金流加在浮动利率方，我们不如将其从固定利率方减去，然后可以像没有利差时那样对期权定价。

当复利是按LIBOR加上一个利差时，我们可以利用下面的近似处理方法。^[2]

（1）假设远期利率将被实现，在每个取消日上计算互换中浮动利率方的价值。

（2）假设浮动利率是LIBOR并按LIBOR复利，在每个取消日上计算互换中浮动利率方的价值。

（3）在一个取消日上将第一步的结果高于第二步结果的部分定义为“利差值”。

（4）将期权按上面所述方法处理。在决定是否取消互换时，从计算的固定利率方价值中减去利差值。

如果假设OIS与LIBOR之间利差等于远期利差，这时类似的方法可以用来对OIS贴现的情形定价。

[1] 对于节假日，通常的约定是将有关利率取为上一个业务日的利率。

[2] 这种处理方式并不完全精确，这是因为我们假定了行使取消期权的决定不受将来支付是按不同于LIBOR的利率来复利的影响。