4.5　确定国库券零息利率

确定像表4-2里所示零息利率的一种方法是通过观测票息剥离产品（strips）所对应的利率，这些产品是由交易员将国库券的本金和票息分开卖出时人工生成的无息证券。

表4-3　票息剥离法数据

①票息每半年支付一次。

另一种确定零息收益率的方法是通过一般的短期国债和国库券，最流行的方法是所谓的票息剥离方法（bootstrap method）。为了说明这一方法，考虑表4-3中有关5个债券价格的数据。因为前三个债券不支付票息，很容易计算对应于这些证券期限的零息利率。第1个债券的结果是将97.5美元的投资在第3个月后变成100美元，因此3个月的连续复利利率R满足

即10.127%。类似地，6个月的连续复利利率R满足

即10.469%，一年的连续复利利率R满足

即10.536%。

第4个债券的期限为1.5年，票息和本金支付如下：

6个月时：4美元

1年时：4美元

1.5年时：104美元

由前面的计算，对于在6个月后支付的利息应采用贴现率10.469%，对于在1年后支付的利息应采用贴现率10.536%。我们知道债券价格为96美元，它必须等于债券持有人所有收入现值的总和。假定在1.5年所对应的零息利率为R，那么

以上方程可被简化为

即

因此1.5年所对应的零息利率为10.681%。这是唯一与6个月期限、1年期限以及表4-3数据一致的零息利率。

2年期的零息利率也可以通过类似的方法由6个月、1年以及1.5年的零息利率来求得：假定R为两年期的零息利率，我们有

由此得出R=0.10808，即10.808%。

表4-4总结了计算的结果。表示零息利率与期限关系的图形叫零息利率曲线（zero curve）。在由票息剥离法所得数值节点之间，一般假定零息利率曲线为线性（这意味着在我们的例子中1.25年的零息利率等于0.5×10.536+0.5×10.681=10.6085%）。通常还假定在零息曲线上第1个节点之前的利率和超出最后一个节点的利率为水平。图4-1就是建立在这些假设下的零息曲线。采用期限更长的债券，我们可以将零息曲线推广到两年以上。

表4-4　由表4-3数据所得出的连续复利利率

图4-1　由票息剥离法得出的零息利率

在实际中，一般在市场上并没有期限正好等于1.5年、2年、2.5年等的债券。分析员通常的做法是在计算零息利率曲线之前首先对债券价格数据进行插值。例如，如果已知在2.3年到期、券息为6%的债券的价格为98，以及在2.7年到期、券息为6.5%的债券的价格为99，分析员可能会假定2.5年到期的、券息率为6.25%的债券价格为98.5。