练习题

31.1　均衡模型与无套利模型的区别是什么？

31.2　假设当前的短期利率为4%，其标准差为每年1%。当短期利率增长到8%时，在下列模型中，它的标准差会有什么变化？（a）Vasicek模型；（b）Rendleman和Bartter模型；（c）Cox，Ingresoll和Ross模型。

31.3　如果股票价格具有均值回归性，或有轨迹依赖性，那么市场将不会是有效的。为什么当短期利率具有这些性质时，市场仍可以是有效的？

31.4　解释单因子与两因子模型的区别。

31.5　在31.4节中，我们描述了如何将一个带息债券的期权分解成一些零息债券期权的组合，这种处理方式能被推广到两个因子模型的情形吗？解释你的答案。

31.6　假设在Vasicek模型与Cox，Ingresoll和Ross模型中的参数为a=0.1和b=0.1。在两种模型下，初始短期利率均为10%，在一个短时间Δt内，短期利率变化的初始标准差为。比较两种模型所给出的10年期零息债券的价格。

31.7　假设在Vasicek模型中，a=0.1，b=0.08和σ=0.015，初始短期利率为5%。计算在3年期零息债券上期限为1年、执行价格为87美元的欧式看涨期权价格。零息债券本金为100美元。

31.8　重复练习题31.7，考虑一个执行价格为87美元的欧式看跌期权。欧式看涨期权价格与欧式看跌期权价格之间的看跌-看涨平价关系式是什么？证明在这种情况下，看跌和看涨期权满足看跌-看涨平价关系式。

31.9　假设在Vasicek模型中，a=0.05，b=0.08和σ=0.015，初始短期利率为6%，计算3年期债券上期限为2.1年的欧式看涨期权价格。假设债券每半年支付一次券息，年息为5%，债券的本金为100美元，期权执行价格为99美元，执行价格为现金价格（而非报价）。

31.10　利用练习题31.9的结果与看跌-看涨平价关系式，计算一个与练习题31.9中看涨期权具有相同条件的看跌期权价格。

31.11　在Hull-White模型下，a=0.08，σ=0.01，计算一个在5年期零息债券上期限为1年的欧式看涨期权的价格。利率期限结构呈水平状，利率为每年10%，债券本金为100美元，执行价格为68美元。

31.12　假定在Hull-White模型下，a=0.05和σ=0.015，而且初始利率期限结构呈水平状，利率为6%，按半年复利。计算一个关于3年期债券上期限为2.1年的欧式看涨期权价格。假设债券的券息为每年5%，每半年支付一次，债券本金为100美元，执行价格为99美元，其中执行价格为现金价格（而非报价）。

31.13　按Δt的时间间隔观察了一些短期利率的值，第i个观察值是r_i（0≤i≤m）。证明在Vasicek模型里参数a，b以及σ的极大似然估计是通过对

求极大值来得到的。对于CIR模型的相应结果是什么？

31.14　假设a=0.05，σ=0.015，期限结构呈水平状，利率为10%。构造一个关于Hull-White模型步长为1年的两步三叉树。

31.15　由图31-6中的树形计算2年期零息债券的价格。

31.16　由图31-9中的树形计算2年期零息债券的价格，并验证该价格与初始期限结构是一致的。

31.17　由图31-10中的树形计算18个月期的零息债券价格，并验证该价格与初始期限结构是一致的。

31.18　单因子期限模型的校正都会涉及什么？

31.19　利用DerivaGem软件对收取固定利率、支付浮动利率的1×4，2×3，3×2和4×1欧式互换期权定价。假设1年、2年、3年、4年和5年利率分别为6%，5.5%，6%，6.5%和7%。互换的交换频率为半年，固定利率为年息6%，按半年复利。利用参数a=3%，σ=1%时的Hull-White模型，计算在布莱克模型下每个期权所隐含的波动率。

31.20　证明式（31-25）、式（31-26）和式（31-27）。

31.21　（a）在Vasicek模型与CIR模型里P（t，T）关于r的2阶偏导数是什么？

（b）在31.2节里，我们曾将作为标准久期D的替代。与4.9节里衡量曲率的测度相类似的是什么？

（c）对于P（t，T）的是什么？对带息债券，你将如何计算？

（d）在Vasicek模型和CIR模型下，对ΔP（t，T）做由Δr和（Δr）²组成的泰勒级数展开。

31.22　假设短期利率r为4%，它在现实世界里的过程为dr=0.1［0.05－r］dt+0.01dz，而在风险中性世界里的过程为dr=0.1［0.11－r］dt+0.01dz。

（a）利率风险的市场价格是多少？

（b）在风险中性世界里，5年期零息债券的增长率期望和波动率是多少？

（c）在现实世界里，5年期零息债券的增长率期望和波动率是多少？