22.9　主成分分析法

主成分分析法（principal component analysis）是一种用来分析高度相关的市场变量风险的分析方法，这是一种在风险管理方面有许多应用的标准统计工具。该方法以市场变量的历史变化数据为依据，并试图从中找出解释这些变化的主要成分或因素。

解释这一方法的最好方式是通过以下这个例子。我们考虑的市场变量是期限为1年、2年、3年、4年、5年、7年、10年和30年的不同的美国互换利率，表22-7与表22-8给出了利用2000~2011年的2780个数据对这些市场变量所得出的计算结果。表22-7中第1列显示利率期限，其他8列给出的是描述利率变化的8个因子（主要成分）。第1个因子对应于利率曲线的平行移动的变化，这一因子为表中的PC1，该因子一个单位变化对应1年利率增加量为0.216基点，2年利率的增加量为0.331个基点，并依此类推。表中第2个因子对应于PC2列，这一因子对应于收益率曲线的扭动（twist）或曲线坡度的变化，1~4年的利率变化为同一方向，5年至30年利率变化为另一方向。第3个因子PC3对应于利率曲线弓伸（bowing）现象，对应于这一因子，相对较短期（1年和2年）和相对长期利率（10年和30年）朝同一方向移动，而中期利率会朝另一相反方向移动。对应于某一因子的利率变化称为因子载荷（factor loading），在我们的例子中，对于1年期的第1个因子载荷为0.216。^[1]

表22-7　互换利率的因子载荷

表22-8　因子得分的标准差（基点）

因为有8个利率变量与8个因子，通过对一线性8元方程求解，我们可以将任意一天的利率变化表达为因子的线性组合，在一天内利率变化中，对应的一个因子数量也被称为这一天利率变化的因子得分（factor score）。

因子的重要性是通过因子得分的标准差来反映的，我们将例子中因子得分的标准差在表22-8中按其重要性进行排列。表22-8的数字表示为基点数（即0.0001）。第1个因子的一个标准差对应于1年期的利率变化为0.216×17.55=3.78个基点，2年期的利率变化为0.331×17.55=5.81个基点，等等。

读者可以在作者网页上找到计算表22-7和表22-8的软件。因子的选择标准是确保因子得分相互无关。在我们的例子中，第1个因子得分（平行移动数量）与第2个因子得分（扭动数量）在2780个观察日内相互独立。因子得分的方差（也就是标准差的平方）具有如下性质：其和相加等于整个数据的方差。由表22-8得出，数据的整体方差（也就是1年期利率观察值的方差，2年期利率观察值的方差，等等）为

由此可以看到第1个因子解释了17.55²/338.8=90.9%的原始数据变化；前两个因子解释了（17.55²+4.77²）/338.8=97.7%的数据变化；第3个因子又进一步解释了1.3%的数据变化。这说明，大部分利率变化中的风险可以由前2个或前3个因子来解释。这意味着我们可以将利率产品组合的风险同这些主要因子联系起来，因此我们并不需要考虑所有8个不同的利率。

图22-7中画出了表22-7给出的3个最重要的因子。^[2]

图22-7　互换利率变化的三个最重要因素

应用主成分分析法来计算VaR

为了说明如何应用主成分分析法来计算VaR，假定我们拥有一投资组合，其对于利率变化的敏感度如表22-9所示。1年期利率一个基点的变化将会触发组合价值增加1000万，两年期利率一个基点的变化将会触发组合价值增加400万，等等。假设我们采用前两个因子来描述利率变化（如前所述，这两个因子解释了97.7%的利率变化）。应用表22-7中的数据，我们算出对于第1个因子的敏感度（以百万美元计，对应于每一因子得分的一个基点变动）为

对于第2个因子的敏感度为

假定f₁和f₂为因子得分（以基点数计算），投资组合价值变化的较好估计值为

因子得分互不相关，表22-8给出了前两个因子的标准差，因此ΔP的标准差为

1天展望期的99%VaR等于18.48×2.326=42.99。注意，表22-9的数据显示投资组合对于第1个因子的敏感性较低，而对于第2个因子的敏感性较高，只采用第1个因子（见练习题22.11）进行计算将会大大低估VaR。因为在22.4节里讨论的久期方法也只考虑了收益曲线的平行移动，所以久期方法也会大大低估VaR。

表22-9　与一个基点利率变化相对应的投资组合价值变化（以百万美元计）

从理论上讲，除了对利率变量外，主成分分析法也可用于其他市场变量。假定一家金融机构对于若干股指有风险敞口，主成分分析法可用来识别描述股指变化的因子，我们还可以用最重要的因子来取代股指进行VaR的计算。主成分分析法的有效性取决于市场变量之间的相关性。

如本章前面所述，VaR的计算往往是通过将投资组合的实际变化与市场变量的百分比变化（Δx_i）结合起来，因此，为了计算VaR，对市场变量的百分比变化（而不是其实际变化）进行主成分分析也许更为合理。

[1] 因子载荷有这样性质：所有载荷因子的平方之和为1。另外，当所有因子载荷的符号变化时，因子并不改变。

[2] 将主成分分析方法应用于任何一个国家的任意一种收益率曲线，得出的主要因子的含义与解释整体风险的程度都与这里陈述的结论基本相同。