27.2　随机波动率模型

在布莱克-斯科尔斯-默顿模型里假设了波动率为常数。在实际中，如在第23章讨论的那样，波动率是随时间变化的。方差-Gamma模型的参数g反映了这种性质：低参数g代表信息到达的速度较慢，波动率也较低；高参数g代表信息到达的速度较快，波动率也较高。

与方差-Gamma模型不同的另一种选择是明确假定波动率变量所遵循的过程。我们首先假设在描述标的变量几何布朗运动中的波动率为时间的函数，在风险中性世界里，标的资产价格服从

这时布莱克-斯科尔斯-默顿公式的方差率应该被改为期权期限内方差率的平均值（见练习题27.6）。方差率等于波动率的平方。假定在1年内，在前6个月的股票价格波动率为20%，在后6个月波动率为30%，平均方差率为

在布莱克-斯科尔斯-默顿公式中，我们采用的方差率应等于0.065，相应的波动率为=0.255，即25.5%。

式（27-1）假定了资产的瞬时波动率是完全可以预测的，而实际中的波动率变化过程是随机的，这一现象导致了由于涉及两个随机变量而更为复杂的模型，即股票价格和其波动率均为随机的模型。

研究人员使用的其中一种模型是

其中a，V_L，ξ和α均为常数，dz_S和dz_V为维纳过程，V为资产的方差率。方差率的漂移项将其以速度a拉回到水平V_L上。

赫尔和怀特证明了当波动率为随机但与资产价格不相关时，欧式期权的价格等于布莱克-斯科尔斯-默顿价格以平均方差率在期权期限内的分布上的积分。^[1]欧式看涨期权的价格为

其中为方差率的平均值，c为以将布莱克-斯科尔斯-默顿价格作为的函数，g为在风险中性世界里的概率密度函数。用这一结果可以证明在平值期权或接近平值期权的情形下，布莱克-斯科尔斯-默顿价格高估了期权价格；在深度虚值或深度实值期权情形下，布莱克-斯科尔斯-默顿价格低估了期权价格。这一结果与我们在现实中所观察到的货币期权隐含波动率的形状是一致的（见20.2节）。

当标的资产价格与波动率相关时，情况会就更加复杂。我们可以通过蒙特卡罗模拟计算期权价格。对α=0.5的特殊情形，赫尔和怀特给出了级数形式的近似，而Heston给出了解析结果。^[2]当标的资产价格与波动率具有负的相关性时，我们计算出的隐含波动率与从股票市场上所观察的结果相似（见20.3节）。^[3]

在第23章里我们曾经讨论过指数加权移动平均（EWMA）和GARCH（1，1）模型，这些模型可以用来代替随机波动率模型。Duan证明了以GARCH（1，1）为基础，我们可以得出一个内在一致的期权定价模型（关于GARCH（1，1）与随机波动率的等价性，见练习题23.14）。^[4]

在应用随机波动率模型时，我们首先应保证由随机波动率模型得出的简单期权价格与市场价格尽量一致，然后我们可以将随机波动率模型应用于特种期权。^[5]当期权期限小于1年时，从绝对意义上看，随机波动率对于期权价格的影响很小（尽管对于深度虚值期权，期权价格的百分比变化可能很大）；当期权期限增大时，其影响也逐渐增大。随机波动率对于期权Delta对冲参数的影响较大，市场上的交易员已经认识到了这一点，如第19章中所述，这些交易员通过计算Vega来跟踪自身对于波动率变化的风险敞口。

[1] 见J.C.Hull and A.White，“The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities，”Journal of Finance，42（June 1987）：281-300，这一结果与方差率所遵循的过程无关。

[2] 见J.C.Hull and A.White，“An Analysis of the Bias in Option Pricing Caused by a Stochastic Volatility，”Advances in Futures and Options Research，3（1988）：27-61；S.L.Heston，“A Closed Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bonds and Currency Options，”Review of Financial Studies，6，2（1993）：327-43。

[3] 见第26.1节的第三个脚注。

[4] 见J.-C.Duan，“The GARCH Option Pricing Model，”Mathematical Finance，vol.5（1995），13-22；和J.-C.Duan，“Cracking the Smile，”RISK，vol 9（December 1996），55-59。

[5] 关于模型应用的例子，见J.C.Hull and W.Suo，“A Methodology for Assessment of Model Risk and its Application to the Implied Volatility Function Model，”Journal of Financial and Quantitative Analysis，37，2（June 2002）：297-318。