19.8　Vega

    截止到目前为止，我们一直假设衍生产品标的资产波动率为常数。在实际中，波动率会随时间变化，这意味着衍生产品价格会既随着标的资产价格与期限的变化而变化，同时也会随波动率的变化而变化。

    交易组合的空标题文档 - 图1是指交易组合价值变化与标的资产波动率变化的比率（注：Vega虽然是期权定价中“希腊值”的一个名称，但是空标题文档 - 图2并不对应于任何一个希腊字母。）

    空标题文档 - 图3

    如果一个交易组合Vega绝对值很大，此交易组合的价值会对波动率的细微变化非常敏感，当一个交易组合Vega接近零时，资产波动率的变化对交易组合价值的影响也会很小。

    标的资产的头寸具有零Vega。但是，在交易组合中加入某个正在交易的期权将会改变交易组合的Vega。假设某交易组合的Vega为空标题文档 - 图4，正在交易的期权Vega为空标题文档 - 图5，在交易组合中加入头寸为空标题文档 - 图6的这个期权可以使交易组合瞬时Vega中性。但不幸的是，一个Gamma中性的交易组合一般不会是Vega中性，反之亦然。一个投资者要想使得一个交易组合同时达到Gamma和Vega中性，通常必须至少引入与标的产品有关的两种不同衍生产品才能达到目的。

    例19-5

    假如交易组合为Delta中性，Gamma为-5000，Vega为-8000。下表所列的期权可以用来交易。购买数量为4000份期权1会使组合成为Vega中性，这样做同时会使得Delta增至2400，因此为了保证Delta中性必须卖出2400个单位的标的资产，交易组合的Gamma也会从-5000变成-3000。

    空标题文档 - 图7

    为了保证交易组合既Gamma中性又Vega中性，我们需要同时将期权1与期权2加入到组合中。用w1和w2来代表期权1与期权2的头寸，我们需要

    空标题文档 - 图8

    和

    空标题文档 - 图9

    以上方程的解是w1=400，w2=6000。因此分别加入400份期权1和6000份期权2会使得交易组合Gamma和Vega都成为中性。加入这两种期权后，交易组合的Delta变为400×0.6+6000×0.5=3240，因此必须卖出3240份标的资产才能保持交易组合为Delta中性。

    无股息股票上欧式看涨期权或看跌期权的Vega由以下公式给出

    空标题文档 - 图10

    其中d1由式（15-20）定义，N′（x）由式（19-2）给出。欧式与美式期权多头的Vega总为正，Vega与S0变化的一般形式如图19-11所示。

    空标题文档 - 图11

    图19-11　期权的Vega与股票价格的关系

    例19-6

    如例19-1一样，考虑一个无股息股票上的看涨期权，其中股票价格为49美元，执行价格为50美元，无风险利率为5%，期限为20周（=0.3846年），股票价格波动率为20%。这时，S0=49，K=50，r=0.05，σ=0.2，T=0.3846。

    期权的Vega为

    空标题文档 - 图12

    因此，当波动率增加1%（0.01）时（由20%增长到21%），期权价格会相应增长大约0.01×12.1=0.121。

    由布莱克-斯科尔斯-默顿模型及其推广形式来计算Vega看起来有些奇怪，因为这个模型的一个基本假设就是波动率为常数。从理论上讲，由一个假定波动率为随机变量的模型来计算Vega更为合理。但是结果表明，由随机波动率模型得出的Vega与布莱克-斯科尔斯-默顿模型得出的Vega很接近，因此，在实际应用中使用将波动率假设成常数而得出的Vega是比较合理的。[1]

    Gamma中性保证了在两个对冲平衡交易时间之间，交易组合价格不会因为标的资产较大幅度的变动而产生很大变动，而Vega中性则保证当σ变动时，交易组合的价值会得到保护。就像所期望的那样，采用正在交易的期权来做Vega对冲与Gamma对冲是否是最好的选择将取决于对冲的再平衡时间间隔以及波动率的波动率。[2]

    当波动率变化时，短期限期权的隐含波动率的变化要比长期限期权的隐含波动率要大，因此在计算组合的Vega时，长期限期权波动率改变的幅度常常比短期限期权波动率的改变幅度要小。在22.6节讨论了其中一种这样的处理方法。

    [1] 见J.C.Hull and A.White，“The Pricing of Options on Asset with Stochastic Volatility，”Journal of Finance，42（June 1987）：281-300；J.C.Hull and A.White，“An Analysis of the Bias in Option Pricing Caused by a Stochastic Volatility，”Advances in Futures and Options Reasearch，3（1988）：27-61。

    [2] 关于这一问题的讨论，见J.C.Hull and A.White，“Hedging the Risk from Writing Foreign Currency Options，”Journal of International Money and Finance，6（June 1987）：131-152。