练习题

23.1　解释如何用指数加权移动平均（EWMA）模型和历史数据来估算波动率。

23.2　采用EWMA及GARCH（1，1）对波动率进行更新的不同之处是什么？

23.3　某一资产波动率的最新估计值为1.5%，资产在昨天交易结束时的价格为30.00美元。EWMA模型中的参数λ为0.94，假定在今天交易结束时资产价格为30.50美元，EWMA模型将如何对波动率进行更新？

23.4　某一公司采用EWMA来预测波动率，公司决定将参数λ由0.95变为0.85，解释这一变化的影响。

23.5　某市场变量的波动率为每年30%，计算该变量在一天内的百分比变化大小对应的99%的置信区间。

23.6　一个公司采用GARCH（1，1）来更新波动率，模型中的参数为ω，α及β。描述稍稍增加某一参数并同时保持其他参数不变所带来的影响是什么？

23.7　美元/英镑汇率波动率的最新估计为每天0.6%，在昨天下午4点，汇率为1.5000，在EWMA中参数λ为0.9，假定在今天下午4点时汇率为1.4950，这时应该如何更新对汇率日波动率的估计？

23.8　假定标普500在昨天交易结束时为1040，在昨天，指数的日波动率估计值为每天1%。GARCH（1，1）模型中的参数ω=0.000002，α=0.06和β=0.92，如果指数在今天交易结束时的取值为1060，今天新的波动率估计为多少？

23.9　假定在昨天交易日末所估计的资产A和资产B的日波动率分别为1.6%和2.5%，资产A和资产B在昨天交易日末的价格分别为20美元和40美元，资产收益相关系数的估计值为0.25，EWMA模型中的λ参数为0.95。

（a）计算目前资产之间的协方差。

（b）假定在今天交易结束时，资产价格分别为20.50美元和40.50美元，更新相关系数的估计。

23.10　某GARCH（1，1）模型的参数为ω=0.000004，α=0.05以及β=0.92，长期平均波动率为多少？描述波动率会收敛到长期平均值的方程是什么？如果目前波动率为20%，在20天后波动率的期望值为多少？

23.11　假定资产X和Y目前每天的波动率分别为1.0%和1.2%，昨天在交易日结束时资产价格分别为30美元和50美元，资产收益的相关系数为0.5，在这里我们采用GARCH（1，1）模型来更新相关系数与波动率，GARCH（1，1）模型中的参数估计为α=0.04和β=0.94，在相关系数估计中采用ω=0.000001，在波动率估计中采用ω=0.000003，假如在今天交易结束时资产的价格分别为31美元和51美元，相关系数的最新估计为多少？

23.12　假设富时100股指（以英镑计）的日波动率为1.8%，美元/英镑汇率的日波动率为0.9%，我们进一步假定富时100与美元/英镑汇率的相关系数为0.4，富时100被转换成美元后的波动率为多少？这里假定美元/英镑汇率被表达为1英镑所对应的美元数量（提示：当Z=X·Y时，Z所对应的每天百分比价格变化大约等于X的每天百分比价格变化，加上Y的每天百分比价格变化）。

23.13　假定在练习题23.12中，标普500（以美元计）与富时100（以英镑计）的相关系数为0.7，标普500（以美元计）与美元/英镑的汇率的相关系数为0.3，标普500的日波动率为1.6%，将富时100转换为美元后与标普500（以美元计）的相关系数为多少？（提示：对于3个变量X，Y及Z，X+Y同Z的协方差等于X与Z的协方差加上Y与Z的协方差）。

23.14　证明由式（23-9）所表达的GARCH（1，1）模型与随机波动率模型dV=a（V_L-V）dt+ξVdz等价，其中时间以天计算，V为资产价格波动率的平方，以及

当时间以年计算时，随机波动率模型是什么？（提示：变量u_n-1为资产价格在Δt时间内的收益，假定其分布为正态，均值为0，标准差为σ_n-1。可以证明，从正态分布的矩可以得出，变量的均值和方差分别为和。）

23.15　在23.8节末尾对4个指数VaR的计算中我们使用了模型构造法。当在每个指数中的投资为250万美元时，VaR的计算会有什么变化？在计算中假定：使用相同权重估计波动率与协方差；使用λ=0.94的EWMA模型估计波动率与协方差。可以使用作者网页里的计算表。

23.16　在23.8节末尾对4个指数例子的计算中，将λ从0.94改成0.97时对计算有什么影响？可以使用上面网页里的计算表。