31.7　建立树形的过程

赫尔和怀特提出了如何对一类广泛的单因子模型构造三叉树的两步程序。^[1]在本节里，我们将解释如何对式（31-13）所定义的Hull-White模型来应用这个两步程序，并同时说明如何将其推广到其他模型上。

31.7.1　第一步

刻画瞬时短期利率r的Hull-White模型为

假定树形的时间步长为常数，并等于Δt。^[2]

我们假定Δt时间段利率R服从与r相同的过程

显然当Δt趋于零时，这是一个合理假设。构造关于这个模型三叉树的第1步是建立一个关于变量R的三叉树，这里R的初始值为零，并且服从过程

这个过程关于R=0为对称，变量R（t+Δt）－R（t）服从正态分布。如果忽略Δt的高阶项，那么R（t+Δt）－R（t）的期望值为－aR（t）Δt，方差为σ²Δt。

定义ΔR为树形上利率之间的距离，并令

可以证明，从减小误差的角度来看，这是一个很好的选择。

程序第1步的目的是对R^*构造一个类似于图31-8的树形。为了这个目的，在每个节点上我们都需要确定应该使用哪一种图31-7中所示的树枝，这也就确定了整个树形的几何形状。一旦确定树枝形状后，我们还要计算树枝所对应的概率。

图31-8　Hull-White模型中关于R^*的树形（第1步）

将t=iΔt和R=jΔR时所对应的节点记为（i，j）（变量i为正整数，j为正或负整数）。在一个节点上所使用的树枝形状必须使所有三个树枝的概率均为正值。在大多数情况下，图31-7a所示的树枝形状是合适的。当a>0时，对于充分大的j而言，有必要从图31-7a所示树枝换成图31-7c所示树枝；类似地，当j为充分大的负数时，有必要由图31-7a所示树枝换成图31-7b所示树枝。定义j_max为我们由图31-7a所示树枝换成图31-7c所示树枝时相应的j值；j_min为我们将图31-7a所示的树枝换成图31-7b所示的树枝时相应的j值。赫尔和怀特证明了当我们令j_max为大于或等于的最小整数和j_min=－j_max时，所有的概率均为正值。（注：对于任何介于0.184/（aΔt）和0.816/（aΔt）之间的j_max和对于任何介于-0.184/（aΔt）和-0.816/（aΔt）之间的j_min，相应的概率均为正值。在最早可能的情况下就将树枝形状加以改变，这样的计算效率最好。）定义p_u，p_m和p_d为从节点所延伸出的上、中和下树枝所对应的概率。概率的选择保证了在下一时间段Δt中，R变化的期望值和方差与其树形相吻合，这些概率的和等于1。对于3个概率，我们可以建立3个方程。

前面已经提到过，在时间Δt内，R变化的均值为－aRΔt，方差为σ²Δt，在节点（i，j）上，R^*=jΔR。如果树枝的形状如图31-7a所示，节点上的概率p_u、p_m和p_d满足以下关系式

令，则以上方程的解为

类似地，如果所伸出的树枝如图31-7b所示，则相应的概率为

最后，如果所伸出的树枝如图31-7c所示，则相应的概率为

为了说明构造树形的第一步，假设σ=0.01，a=0.1，Δt=1。这时，，j_max为比0.184/0.1大的最小整数，以及j_min=－j_max。这意味着，j_max=2和j_min=－2。所得树形如图31-8所示。每个树枝所对应的概率显示在树下方的表中，它们是通过上面关于p_u，p_m和p_d的方程计算得出的。

注意，图31-8中每个节点上概率仅仅依赖于j。例如，节点B的概率与节点F的概率一样，树的形状为对称，节点D的概率是节点B上的概率的镜像反射。

31.7.2　第2步

构造树形的第2步是将R的树形转换为R的树形，这可以通过变动R树形的节点而使初始利率结构与树形完全吻合。定义

当时间步长Δt为无穷小时，α（t）可以通过式（31-14）解析计算得出。（注：α（t）可以通过解析公式来估计。由于

于是dα=［θ（t）－aα（t）］dt。利用式（31-14），这个方程的解为

）但是，我们希望对固定的Δt，所构造的树形能够与期限结构完全吻合，因此，我们以递推的形式确定α。

定义α_i为α（iΔt），α_i等于R在R-树形上时间iΔt的值减去R^*-树形上在时间iΔt的相应值。定义Q_i，j为如下证券的贴现值：当节点（i，j）被达到时，支付1美元，否则支付为0。α_i和Q_i，j可以通过向前递推的形式来计算，递推过程保证了树形与初始期限结构保持吻合。

31.7.3　第2步数值例解

假设图31-8例子中的连续复利零息利率如表31-1所示。Q_0，0的值为1.0。α₀的选取使得在时间Δt到期的零息债券价格与树形吻合，也就是说，α₀被设定为初始Δt时间段的利率。在本例中，Δt=1，α₀=0.03824，这就定义了图31-9中R-树形在初始节点的位置。接下一步是计算Q_1，1，Q_1，0和Q_1，－1的值。到达节点（1，1）的概率为0.1667，而第一步的贴现率为3.82%，因此Q_1，1等于0.1667e^－0.0382=0.1604。类似地，Q_1，0=0.6417和Q_1，－1=0.1604。

表31-1　图31-8和图31-9中例子的零息利率

图31-9　Hull-White模型中关于R的树形（第2步）

一旦确定了Q_1，1、Q_1，0和Q_1，－1，我们就可以确定α₁，它的选取使树形上在2Δt到期的零息债券价格取值正确。由于ΔR=0.01732和Δt=1，这个债券在节点B的价格为。类似地，债券在节点C的价格为，在节点D的价格为。因此，债券在初始节点的价格为

从初始期限结构出发，我们知道债券的正确价格为e^{－0.04512×2}=0.9137。在式（31-21）中代入相应的Q项，我们得出

或

或

这说明在时间Δt上，R的树形中间节点所对应的利率为5.205%（见图31-9）。

在下一步我们将要计算Q_2，2、Q_2，1、Q_2，0、Q_2，－1和Q_2，－2。我们可以利用前面已经得到的Q值来简化计算。以Q_2，1为例，Q_2，1的取值相当于一个证券的价值，若节点F能到达，此债券支付1美元，否则支付0美元。节点F只可能由节点B和C来达到，而在这两个节点上的利率分别为6.937%和5.205%。与树枝B-F和C-F相关的概率为0.6566和0.1667。因此，一个在节点F支付1美元的证券在节点B的价格为0.6566e^－0.06937，在节点C的价格为0.1667e^－0.05205。因此Q_2，1等于0.6566e^－0.06937乘以在节点B收取1美元的贴现值，再加上0.1667e^－0.05205乘上在节点C收取1美元的贴现值，也就是说

类似地，Q_2，2=0.0182，Q_2，0=0.4736，Q_2，－1=0.2033和Q_2，－2=0.0189。

构造图31-9中R-树形的下一步是计算α₂。在此之后，可以计算Q_3，j，然后再计算α₃，等等。

31.7.4　计算α和Q的公式

为了更正式地表达这种方法，假定我们已经求得了所有当i≤m（m≥0）时的Q_i，j。接下来一步是确定α_m来保证R-树形可以正确地给出期限为（m+1）Δt的零息债券价格。在节点（m，j）上的利率为α_m+jΔR，因此在（m+1）Δt到期的零息债券价格为

其中n_m是在时间mΔt时在中间节点每边的节点个数，以上方程的解为

一旦确定了α_m，对于i=m+1，Q_i，j可由以下方程计算得出

其中q（k，j）为由节点（m，k）移动到节点（m+1，j）的概率，求和指标是所有使这个概率不为零的k值。

31.7.5　推广到其他模型

我们可以将刚刚描述的程序推广到具有以下形式的其他过程上

其中f是r的单调函数。这种模型具有可以和任何期限结构相吻合的性质。（注：并非所有的模型都具有这个性质。比如，由Cox，Ingersoll和Ross（CIR）（1985）以及Hull-White（1990）所考虑的CIR模型推广形式

就无法与远期利率急剧下降的利率曲线相吻合。这是因为当θ（t）为负时，以上所述过程无法定义。）

同前面一样，我们假设Δt段利率R服从与r同样的过程

令x=f（R），于是

第一阶段是对x建立树形，其中x服从与x同样的过程，但相应的θ（t）为0，而且初始值为0。这与建立图31-8中树形的程序完全一样。

如图31-9所示，我们接下来对时间iΔt的节点移动α_i，并使得树形与初始期限结构相吻合。这里确定α_i和Q_i，j的递推方程与f（R）=R的情形略有不同。Q在第一个节点Q_0，0被假设为1。假定对所有的i≤m（m≥0），Q_i，j都已经被确定，下一步是确定α_m使树形可以正确地为（m+1）Δt到期的零息债券定价。定义g为函数f的反函数，在时间mΔt，第j个节点上Δt时间段的利率为

在时间（m+1）Δt到期的零息债券价格为

这个方程的数值解可以通过Newton-Raphson迭代法给出。当m=0时，α₀等于f（R（0））。

一旦求出了α_m，对于i=m+1，Q_i，j可由以下方程来计算

其中q（k，j）为由节点（m，k）移动到节点（m+1，j）的概率，求和指标是对所有使概率q（k，j）不为零的k值。

图31-10展示了将上述程序应用于由式（31-18）定义的Black-Karasinski模型

所得出的结果，其中a=0.22，σ=0.25，Δt=0.5，零息利率如表31-1所示。

当选取f（r）=r时，我们可以得到由式（31-13）定义的Hull-White模型；当f（r）=ln（r）时，我们可以得到由式（31-18）定义的Black-Karasinski模型。模型f（r）=r的主要优点是它的解析性质，主要缺点是存在出现负利率的可能。在大多数情形下，模型出现负利率的概率很小，但有些分析员不愿意使用任何会出现负利率的模型。模型f（r）=ln（r）没有解析性质，但其优点是利率永远为正。

图31-10　对数正态模型树形

31.7.6　如何处理低利率环境

在利率较低的环境里选择令人满意的模型是一个棘手的问题。在这种情况下我们无法忽视Hull-White模型里产生负利率的概率。Black-Karasinski模型也不是很好，原因是对高利率和低利率使用同样的波动率是不合适的。一种避免负利率的方法是当r很低时，将f（r）选择为与ln（r）成比例，而在其他情况下将f（r）选择为与r成比例。^[3]另一种做法是将短期利率取做由Vasicek类型模型所定义利率的绝对值。Alexander Sokol提出了一种更好的办法：假设r的回归速度和波动率都是r的函数，而这些函数可以通过实证数据来估计。然后将r转换成使dz系数为常数的新变量x。对这种模型，可以利用比图31-7中更广泛的三叉树形来实现。

31.7.7　解析结果和树形并用

当构造f（r）=r的Hull-White模型树形时，利用31.3节中的解析结果可以求得每个节点上的期限结构和欧式期权价格，注意树形所给出的是Δt时间段的利率R，并不是瞬时利率r。了解这一点对我们很重要。

由式（31-15）、式（31-16）和式（31-17），我们可以证明（见练习题31.21）

其中

和

（对Ho-Lee模型，在以上方程中我们令（t，T）=T－t）。

因此，在计算债券价格时，我们应该使用式（31-25）而不是式（31-15）。

例31-4

假设零息利率如表31-2所示。对应于表中所示期限之间的利率是由线性插值来计算的。

表31-2　零息曲线，所有利率均按连续复利（实际天数/365）

我们考虑一个在9年（=9×365天）后支付100的零息债券上、期限为3年（=3×365天）的欧式看跌期权。假定利率服从Hull-White模型（f（r）=r），执行价格为63，a=0.1和σ=0.01。我们构造一个3年的树形，在最后的节点上我们利用刚才描述的解析公式来计算债券价格。如表31-3所示，由树形上所得结果与期权的解析价格是一致的。

表31-3　9年期零息债券上期限为3年的看跌期权价值，执行价格为63，模型参数a=0.1和σ=0.01；零息曲线由表31-2给出

该例为模型的实现提供了一个很好的检验，这是因为在期权到期后，零息曲线的斜率马上呈现剧烈变化。在构造和使用树形时，一个小的误差很可能会对价格产生很大影响（DerivaGem软件里应用工具（Application Builder）的例G正是这个例子）。

31.7.8　美式债券期权树形

对于欧式和美式债券期权、上限/下限，以及欧式互换期权，DerivaGem软件实现了正态和对数正态模型。图31-11显示了由软件生成的树形，这里的树形是关于10年期债券上、期限为1.5年的美式债券期权定价而设定的，步数为4步，模型为对数正态（Black-Karasinski）模型，参数是a=5%，σ=20%，标的债券的期限为10年，面值为100美元，券息为每年5%，每半年支付一次，收益率曲线为水平，每年为5%，债券期权执行价格为105美元。在29.1节我们讲过，执行价格可以是现金价格，也可以是报价。本例中的执行价格为报价，在树形上所示的债券价格为现金价格。每个节点对应的累计利息显示在树的下方，现金执行价格等于执行价格报价加上累计利息。债券报价为其现金价格减去累计利息，期权收益为债券的现金价格减去现金执行价格，这与债券报价和执行价格（报价）的差是一样的。

图31-11　对美式债券期权定价的树形，该图由DerivaGem软件生成

树形上所给出的期权价格为0.672，一个100步树形给出的期权价格为0.703。注意当假设对数正态模型时，我们无法利用解析公式来计算10年期债券的价格。这些价格是在一个比所显示的树形要大得多的另一个树形上通过倒推计算得出的。

[1] 见J.Hull and A.White，“Numerical Procedures for Implementing Term Structure Models I：Single-Factor Models，”Journal of Derivatives，2，1（1994）：7-16；and J.Hull and A.White，“Using Hull-White Interest Rate Trees，”Journal of Derivatives，（Spring 1996）：26-36。

[2] 关于使用非均匀步长的情形，见网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes里的Technical Note 16。

[3] 见J.Hull and A.White，“Taking Rates to the Limits，”Risk，December（1997）：168-69。