15.11　隐含波动率

在布莱克-斯科尔斯-默顿定价公式中，不能直接观察到的参数只有股票价格的波动率。在15.4节中我们已经讨论了如何由股票的历史价格来估计波动率。在实际中，交易员通常使用所谓的隐含波动率（implied volatility）。这一波动率是指由期权的市场价格所隐含的波动率。^[1]

为了说明隐含波动率是如何计算的，假设一个不付股息股票的欧式看涨期权价格为1.875，而S₀=21，K=20，r=0.1和T=0.25。隐含波动率是使得式（15-20）所给期权价格c=1.875时对应的σ值。不幸的是，我们不能靠直接反解式（15-20）将σ表示成期权价格与其他变量S₀、K、r、T和c的函数，但是我们可以用迭代的方式求解所隐含的值σ。例如，开始时我们令σ=0.20，对应这一波动率，期权价格c为1.76美元，这一价格太低。由于期权价格为σ的递增函数，我们需要一个较大的σ值。我们再令σ=0.30，对应的期权价格c为2.10美元，此值高于市价，这意味着σ一定介于0.2与0.3之间。接下来，我们令σ=0.25，此值所对应的期权价格仍太高，所以σ应该在0.20与0.25之间。这样继续下去每次迭代都使σ所在的区间减半，因此我们可以计算出满足任意精确度的σ近似值。^[2]在本例中，隐含波动率σ=0.235，即每年23.5%。与二叉树结合，利用类似的方法可以来计算美式期权的隐含波动率。

隐含波动率可以用来衡量市场上对于某一股票波动率的观点。历史波动率（见15.4节）是回望型（backward looking），而隐含波动率则为前瞻型（forward looking）。通常，交易员对于期权所报出的是隐含波动率，而不是期权的价格。这样做会带来许多方便，因为波动率的变化比期权价格变化更加稳定。在第20章中我们将说明交易员如何由市场上交易较为活跃的期权来估算其他期权的隐含波动率。

VIX指数

芝加哥交易所（CBOE）发表隐含波动率的指数。最流行的指数是SPX VIX，这是由标普500上包括很广的30天期限看涨和看跌期权计算的，^[3]这一指数也被称作“恐惧指数”（fear factor），VIX取值为15意味着标普500上30天期限的期权隐含波动率为15%。在26.15节中有关于该指数计算方式的内容。在VIX上的期货交易是从2004年开始的，而在VIX上的期权交易是从2006年开始的，1份合约等于1000乘以指数值。

例15-8

假设1位交易员买了1份VIX上4月份的期权合约，当时的期货价格是18.5（相当于30天标普500波动率为18.5%），并当期货价格为19.3（相当于30天标普500波动率为19.3%）时平仓。交易员赚了800美元。

涉及标普500的期货或期权是在将来的标普500水平以及标普500波动率两方面下赌注，与此相反，VIX上的期货或期权只是在波动率上下注。图15-4显示了在2004年1月与2013年6月之间的VIX指数。从2004年至2007年年中，VIX指数通常保持在10与20之间，在2007年后半年，指数达到了30，而在2008年10月与11月雷曼兄弟破产后，指数有高达80的记录。在2010年年初，指数逐渐降到了通常的水平，但在2010年5月和2011年下半年，由于金融市场的不确定性，指数又出现了高峰。

图15-4　VIX指数（2004年1月到2013年6月）

[1] DerivaGem可以用来计算欧式和美式期权的隐含波动率。

[2] 这一方法只是为了说明问题，在实际中往往采用其他更有力的方法，像Newtonr-Raphson方法（见4.4节中的脚注）。DerivaGem可以用来计算隐含波动率。

[3] 与其类似，VXN是纳斯达克100指数的波动率指数，VXD是道琼斯工业指数的波动率指数。