9.3　当用OIS贴现时互换和远期利率合约的价值

一旦确定了OIS零息利率曲线，我们就可以假定OIS零息利率为无风险利率。例如，式（5-4）给出了远期合约的价值，其中r即为期限为T年的OIS零息利率。（注：为了采用式（5-4），我们要用到对应于期限为T的远期价格F₀，一般计算F的方法是对在市场上观察到的远期价格进行插值。）对互换和FRA定价时，我们需要做更多的工作。首先要做的是计算与OIS贴现一致的远期LIBOR利率。

利用OIS贴现来确定远期LIBOR利率

为了对LIBOR与固定息互换定价，假设我们已经知道远期LIBOR利率会在将来实现。如果一个互换交易以今天的市场中间价（mid-market）达成，互换的价值为零。利用这一特点，我们可以确定LIBOR远期利率。用OIS贴现时所确定的LIBOR远期利率不同于用LIBOR贴现时所确定的LIBOR远期利率。我们将用一简单情形来对此进行说明，例9-2给出了在假定用LIBOR利率贴现时，计算远期LIBOR利率的过程；例9-3给出了在假定用OIS利率贴现时，计算远期LIBOR利率的过程。

例9-2

假定1年期的LIBOR利率为5%，2年期的LIBOR与固定息互换的利率为6%，以上两个利率均为每年复利一次。当某家银行使用的贴现利率为LIBOR时，假定2年期的LIBOR/互换零息利率为R，因为券息为6%的债券为平价债券（见7.6节），以下方程一定成立

对以上方程求解，得出R=6.030%。假定F为在1年后开始、期限为1年的远期LIBOR利率，我们可以用零息利率来计算这个值

为了验证以上结果，我们可以计算使相应的互换价值为0的F。对应于100美元的面值，在1年时，固定息收入方将得到+1美元（这是因为此方将收入6美元，同时支出5美元），假定远期利率将实现，在2年时，对应于100美元面值，固定息收入方收入6－100F，互换价值为

将以上数量设为0，求解F得出，F=7.0707%，该结果与前面的结果一致。

例9-3

如例9-2，假定1年期的LIBOR利率为5%，2年期的LIBOR与固定息互换的利率为6%，假定以上两个利率均为每年复利一次。一家银行使用OIS贴现，假定OIS零息曲线已经由9.2节中所述的方法确定，1年期和2年期OIS零息利率分别为4.5%和5.5%，均为每年复利一次（在该情形下，OIS零息利率比LIBOR零息利率低50个基点）。假定F为在1年后开始、期限为1年的远期LIBOR利率。对互换价值的计算可以假定远期LIBOR利率会在将来实现。收入为6%、同时支付LIBOR利率的互换价值为0，因此

解这个方程得出F=7.0651%。

在例9-2和例9-3中，当我们将LIBOR贴现换成OIS贴现时，远期LIBOR由7.0707%变为7.0651%，变化量稍微超过半个基点。尽管这个变化量很小，但交易员并不想忽略它。在实际中，变化量的大小取决零利率曲线的陡峭程度和远期利率的期限（见DerivaGem 3.00）。

当无风险贴现利率设成OIS时，由例9-3所示的计算过程可以确定远期LIBOR曲线。利用一系列每3个月交换现金流的互换，我们可以确定作为期限函数的3个月期限的远期利率（即作为3个月期限开始时间的函数）；利用一系列每6个月交换现金流的互换，我们可以确定作为期限函数的6个月期限的远期利率（即作为3个月期限开始时间的函数），依此类推。^[1]（为了确定完整远期LIBOR利率曲线，在所计算出的远期利率之间可以利用插值。）

如果对互换定价时用的是OIS贴现，与互换现金流相对应的远期利率要从合适的远期LIBOR曲线中求得。然后，在假定远期利率被实现的情况下，将互换现金流用适当的OIS零息利率贴现。

[1] 在计算完整LIBOR远期利率曲线时，对应于不同计息区间的基差互换（例如1个月期限的LIBOR与6个月期限的LIBOR之间的互换）提供了更多的信息。