22.4　线性模型

以上讨论的例子是采用线性模型计算VaR的特例。假定我们持有的价值为P的投资组合中含有n个不同资产，在资产i（1≤i≤n）上投资资金的数量为α_i。定义Δx_i为资产i在1天内的回报，在1天内投资于资产i所产生的价值变化为α_iΔx_i，因此

其中ΔP为整个投资组合在1天内的价值变化。

在前一节所示例子中，第一项资产为价值1000万美元的微软股票，第二项资产为价值500万美元的AT&T股票，因此α₁=10，α₂=5（按百万美元计），并且

如果我们假定式（22-1）中的Δx_i服从多元正态分布，那么ΔP也服从正态分布。为了计算VaR，我们只需要计算出ΔP的期望值和标准差。在上一节里我们假设了每项Δx_i的期望值都为0，因此ΔP的期望值也为0。

为了计算ΔP的标准差，我们假定σ_i为第i项资产的日波动率，ρ_ij为资产i回报与资产j回报之间的相关系数，这意味着Δx_i的标准差为σ_i，Δx_i与Δx_j之间的相关系数为ρ_ij。将ΔP的方差记为，我们有

这一方程也可以被写成

N天内投资组合价值变化的标准差为，因此N天展望期的99%VaR等于。

投资组合在一天里的回报率是ΔP/P，由式（22-2）得出其方差为

其中w_i=α_i/P是组合在第i项资产上的投资比重。组合管理人员在使用式（22-2）时常常使用这种形式。

在前一节例子中，σ₁=0.02，σ₂=0.01和ρ₁₂=0.3，在前面我们曾指出α₁=10和α₂=5，因此

即σ_P=0.2202，这一数量为投资组合每天价值变化的标准差（以百万元计）。10天展望期的99%VaR等于2.326×0.2202×=1.62，即162万美元。这与前一节所计算出的结果完全一致。

22.4.1　相关系数与协方差矩阵

相关系数矩阵里的第i行和第j列元素ρ_ij是变量i和变量j之间的相关系数，其形式如表22-5所示。因为一个变量与本身总是有完美的相关性，所以相关系数的对角线元素总是1。另外，因为ρ_ij=ρ_ji，所以相关系数矩阵是对称的。利用相关系数矩阵、变量i的日标准差以及式（22-2），我们可以计算投资组合的方差。

除了使用相关系数与波动率外，从业人员也常常使用方差和协方差。变量i的日方差var_i等于日波动率的平方

变量i与变量j之间的协方差是变量j的日波动率、变量j的日波动率以及i和j之间相关系数的乘积

计算投资组合方差的表达式（22-2）可以写成

表22-5　相关系数矩阵：ρ_ij是变量i和变量j之间的相关系数

协方差矩阵（covariance matrix）里第i行和第j列元素是变量i和变量j之间的协方差。如上所述，变量与自身的协方差等于其方差，因此矩阵中的对角线元素为变量的方差（见表22-6）。正是因为这个原因，协方差矩阵有时也被称为方差-协方差矩阵（variance-covariance matrix）（与相关系数矩阵一样，协方差矩阵是对称的）。使用矩阵记号，上面所给出的投资组合方差可以写成

其中α是列向量，第i个元素是α_i，C是方差-协方差矩阵，α^T是α的转置。

方差与协方差通常是通过历史数据来计算的。在23.8节里，我们将以22.2节里的4个股指为例来说明如何计算方差与协方差。

表22-6　方差-协方差矩阵：cov_ij是变量i和变量j之间的协方差，对角线元素为方差：cov_ii=var_i

22.4.2　如何处理利率

在模型构建法中，我们不可能将一个公司面临的每一个债券价格和每一种利率风险都定义为一个单独的市场变量。在建立模型时，我们必须进行简化。一种方式是假定收益率曲线的变化形式只有平行移动，由此我们只需要定义一个市场变量，即平行移动的大小。我们可以采用以下方程来计算证券组合价值变化

其中P为组合的价值，ΔP为组合在1天内的变化，D为组合的修正久期，Δy为收益率在1天内的平移变化。

一般来讲，这种方法的准确性不够好。市场上通常采用的方法是选择以下标准期限的零息债券价格作为市场变量：1月、3月、6月、1年、2年、5年、7年、10年和30年。在计算VaR时，组合中产品的现金流被映射成标准期限上的现金流。考虑头寸为100万的国库券，期限为1.2年，债券的券息为6%，每半年支付一次。债券在0.2年、0.7年和1.2年发放券息，并在1.2年债券偿还本金。此债券可以作为以下三个零息债券的组合：0.2年期限面值为30000美元、期限为0.7年面值为30000美元以及期限为1.2年面值为1030000美元。在映射过程中，0.2年的头寸被等价的1个月和3个月头寸而取代，0.7年的头寸被等价的6个月和1年头寸而取代，1.2年的头寸被等价的1年和2年头寸而取代。因此，为了计算VaR，我们持有的1.2年期的带息债券分别被映射为1个月、3个月、6个月、1年和2年的无息债券。

这里描述的过程被称为现金流映射（cash-flow mapping）。网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes上的Technical Note 25介绍了一种这样的现金流映射方法。注意，当使用历史模拟方法时，没有必要做现金流映射，这是因为对于每个情形，我们都可以计算完整的期限结构。

22.4.3　线性模型的应用

线性模型最简单的应用是针对只包含股票、债券，而同时没有衍生产品的投资组合。现金流映射法将债券转化为标准期限的零息债券。这时，投资组合价格的变化同股票价格和零息债券的回报呈线性关系。

线性模型能够处理的衍生产品包括标的资产（变量）为汇率的远期合约。假设远期合约的期限为T，这一合约可以被理解为期限为T的外国零息债券同期限为T的本国零息债券的交换。为了计算VaR，我们将远期合约理解为外国债券的多头与本国债券空头的组合，而每一个债券都可以通过现金流映射来处理。

接下来我们考虑利率互换。如第7章所述，利率互换可以看作浮动利息债券与固定利息债券的交换。固定券息债券是一般的带息债券，而浮动券息债券在下一个付息日后的价值等于面值，因此浮动券息债券可以被当成期限等于下一个付息日的零息债券。因此，利率互换可以被转换为债券多头与空头的组合，从而我们可以采用一般的现金流映射来对互换进行处理。

22.4.4　线性模型与期权

我们现在考虑如何将线性模型用于期权产品，首先假设投资组合是由标的资产为一只股票的期权组成，标的资产的当前价格为S，期权Delta（由第19章里的计算方式来求得）为δ，^[1]因为δ为投资组合价格变化与S变化的比率，我们有以下近似式

即

其中ΔS为1天内股票价格的变化，ΔP为投资组合在1天内的价值变化。我们定义Δx为股票价格在1天内的百分比变化，因此

ΔP与Δx有以下近似关系式

当投资组合包含几种不同标的市场变量的期权时，我们可以推导出ΔP与Δx_i之间的近似关系式

其中S_i为第i个市场变量的取值，δ_i为投资组合关于第i个变量的Delta。类似于式（22-1）的近似关系式

其中α_i=S_iδ_i，至此我们可以利用式（22-2）或式（22-3）来计算ΔP的标准差。

例22-1

假定一个投资组合是由标的资产为微软股票与AT&T股票的期权所组成，微软期权的Delta为1000，AT&T期权的Delta为20000，微软股票的价格为120，AT&T的股票价格为30。由式（22-5），我们得出以下近似式

即

其中Δx₁与Δx₂分别为微软与AT&T股票在1天内的收益率，ΔP为投资组合价值相应的变化（这相当于在微软上有120000美元投资，在AT&T上有600000美元的投资）。假设微软日波动率为2%，AT&T日波动率为1%，它们之间的相关系数为0.3，我们得出ΔP的标准差（以千元计）为

因为N（-1.645）=0.05，5天展望期的95%VaR等于

[1] 通常我们将交易组合Delta和Gamma分别计为Δ及Γ，在这一节以及今后的一节里，我们将采用小写字母δ和γ，这样做的原因是避免过多使用符号Δ。