19.5　Theta

期权组合的Theta（Θ）定义为在其他条件不变时，投资组合价值变化与时间变化的比率。Theta有时称为组合的时间损耗（time decay）。对于一个无股息股票上的欧式看涨期权，计算Theta的公式可以从布莱克-斯科尔斯-默顿公式得出（见练习题15.17）

其中d₁与d₂由式（15-20）给出

为标准正态分布的密度函数。

对于一个股票上欧式看跌期权，计算Theta的公式为

因为N（－d₂）=1－N（d₂），看跌期权的Theta比相应看涨期权的Theta高出rKe^－rT。

在这些公式中的时间是以年做单位。而通常在计算Theta时的时间是以天为单位，因此Theta为在其他变量不变时，在1天过后交易组合价值的变化。我们可以计算“每日历天”的Theta或“每交易日”的Theta。为了计算每日历天的Theta，上面计算Theta的公式必须除以365，为了计算每个交易日的Theta，上面计算Theta的公式则除以252（DerivaGem计算的是每日历天的Theta）。

例19-2

采用例19-1中的数据，考虑一个对于无股息股票上的看涨期权，其中股票价格为49美元，执行价格为50美元，无风险利率为5%，期限为20周（=0.3846年），股票价格波动率为20%，这时S₀=49，K=50，r=0.05，σ=0.2和T=0.3846，期权的Theta为

因此，每日历天的Theta为-4.31/365=-0.0118，每交易日的Theta为-4.31/252=-0.0171。

期权的Theta一般是负的，^[1]这是因为在其他条件不变的情况下，随着期限的减小，期权价值会降低。图19-5显示一个股票上看涨期权的Theta与标的资产价格之间关系的曲线。当股票价格很低时，Theta接近于零。对应于一个平值看涨期权，Theta很大而且是负值。当股票价格很高时，Theta接近于-rKe^－rT。图19-6显示实值期权、平值期权、虚值看涨期权的Theta随期权期限变化的规律。

图19-5　欧式看涨期权Theta与标的资产价格的关系

图19-6　欧式看涨期权Theta随时间变化的规律

作为对冲参数，Theta与Delta属于不同类型。这是因为未来股票的价格有很大的不定性，但时间走向却没有不定性。通过对冲来消除交易组合关于标的资产价格变化的风险很有意义，但对冲交易组合对于时间的变化就毫无意义。即使如此，许多交易员仍把Theta作为对交易组合有用的一种描述。正如我们在今后会看到的那样，在一个Delta中性的交易组合中，Theta是Gamma的近似。

[1] 这一特性的反例包括无股息股票上欧式实值看跌期权，以及利率较高时的欧式实值看涨货币期权。