7.7　利率互换的定价

我们现在考虑利率互换的定价问题。在合约刚开始时，利率互换的价值接近于0。随时间的变化，利率互换的价值可能为正，也可能为负。当LIBOR/互换利率被用作贴现利率时，利率互换有两种定价方式：第1种方式将利率互换作为两个债券的差；第2种方式将利率互换作为由FRA所组成的交易组合。DerivaGen 3.00可以用来计算以LIBOR或OIS贴现时的互换价值。

7.7.1　利用债券价格定价

在利率互换中，本金不进行交换。但是如表7-2所示，我们可以假设本金在互换的最后进行交换，这一假设并不影响互换的价值。这样做以后我们将收入固定利率而付出浮动利率的互换作为定息债券多头与浮息债券空头的组合，因此

其中V_swap为互换的价值，B_fl为互换中浮息债券的价值，B_fix为互换中定息债券的价值。类似地，一个收入浮动利率并付出固定利率的互换可以作为浮息债券多头与定息债券空头的组合，因此

定息债券的价值可以由4.4节所描述的方式来计算。为了计算浮息债券的价格，我们注意债券在券息付出后等于其面值。因为在这时债券为“公平交易”：借贷人对于每个计息区间所支付的利率均为LIBOR。

假定名义本金为L，下一个交换支付的时间为t，而在t支付的浮动息（在前一个付款日已确定）为k，在支付之后，如前面所述，B_fl=L。因此在支付利息之前，B_fl=L+k。因此，浮息债券可以看作在t提供单一现金流的产品，对这一现金流进行贴现，即可得出浮动息债券在今天的价格（L+k）e^－rt，其中r为LIBOR/互换零息曲线上对应于t的利率。图7-8展示了以上的讨论。

图7-8　面值为L在下一个付款日t支付利息为k的浮动债券的定价

例7-2

假定在之前某金融机构同意在互换合约中收入6个月期的LIBOR利率并同时支付每年3%（每半年复利一次）的固定利率，互换的本金为1亿美元。互换合约还有1.25年的剩余期限。对应于期限为3个月、9个月和15个月的LIBOR利率（连续复利）分别为2.8%、3.2%和3.4%。前一个付款日所观察的6个月期LIBOR利率为2.9%（每半年复利一次）。

表7-5总结了以债券形式对互换定价的计算。固定息债券的现金流在3个付款日上分别为1.5，1.5和101.5。对应于这3个付款日的贴现因子分别为e^{－0.028×0.25}，e^{－0.032×0.75}，e^{－0.034×1.25}，其数值结果列在表7-5的第4列。表中显示的定息债券价格（以百万美元计）为100.2306。

表7-5　利用债券价格来定价。其中B_fix为互换中的定息债券，B_fl为互换中的浮息债券

在该例中,L=1亿美元,k=0.5×0.029×100=145万美元,t=0.25。因此,对浮息债券定价时,可以将其认为是在3个月具有10145万美元的现金流。表中显示的浮动债券价格(以百万美元计)为101.4500×0.9930=100.7423。

债券价值为以上两个债券价格的差：

即51.17万美元。

如果金融机构处在相反的位置(即支付固定利率,并收入浮动利率时),互换的价值为负51.17万美元。注意,在计算中,我们没有考虑天数计算惯例以及假期日历。

7.7.2　利用FRA对互换定价

一个互换合约可以被当成远期利率合约的组合。考虑图7-1所示的微软与英特尔之间的互换合约，这一合约在2014年3月5日签订，期限为3年，付款频率为每半年一次。在合约成交时，我们已经知道第一个支付量为多少。其他5个支付量可以被看成FRA合约。在2015年3月5日的现金流互换可以看作固定利率5%与在2014年9月5日所观测到的6个月的浮动利率交换而形成的FRA；在2015年9月5日的现金流互换可以看作固定利率5%与在2015年3月5日所观测到的6个月的浮动利率交换而形成的FRA，等等。

如4.7节的末尾所示，对FRA定价时可以假设远期利率在将来会得以实现。因为简单互换合约是远期利率合约FRA的组合，对合约定价时我们可以假定远期利率在将来会实现，具体过程如下：

（1）利用LIBOR/互换零息曲线计算每一个决定互换现金流的LIBOR利率所对应的远期利率；

（2）假定LIBOR利率等于相应的远期利率，并计算互换现金流；

（3）对所得互换现金流进行贴现（利用LIBOR/互换零息曲线）来得到互换的价值。

例7-3

再一次考虑例7-2中的情形。在互换中，某金融机构同意支付6个月期的LIBOR并同时收入每年3%（每半年复利一次）的固定利率。互换的本金为1亿美元，互换还有1.25年的剩余期限。对应于期限为3个月、9个月和15个月的LIBOR利率（连续复利）分别为2.8%、3.2%和3.4%。前一个付款日所对应的6个月期LIBOR利率为2.9%（每半年复利一次）。

表7-6总结了计算过程。表的第1行显示了在第3个月时现金流的交换，这时的现金流数量已经被确定。固定利率1.5%对应于100×0.030×0.5=150万美元的现金流出。浮动利率2.9%（在3个月以前设定）对应于100×0.029×0.5=145万美元的现金收入。表中的第2行显示在9个月时的现金流交换，其中假设远期利率会实现。同上，现金流出为150万美元。为了计算现金流入，我们首先计算介于3个月与9个月之间的远期利率。由式（4-5），我们可以得出远期利率为

即3.4%（连续复利）。由式（4-4），对应于每半年复利一次的远期利率为3.429%。因此，收入现金流为100×0.03429×0.5=171.45万美元。类似地，第3行显示在假定远期利率会实现时，在15个月时的现金流。对应于这3个付款日期的贴现因子分别为

e^{－0.028×0.25}，e^{－0.032×0.75}，e^{－0.034×1.25}

表7-6　利用FRA对互换定价。浮动利率现金流是假设远期利率将会被实现来计算的

在3个月支付的贴现值为-4.97万美元,与第9个月和第15个月时的交换所对应的FRA价值分别为+20.94万美元和+35.19万美元。互换的总价值为51.17万美元。这与例7-4中将互换分解为债券多头和空头所得出的价值一致。