练习题

15.1　布莱克-斯科尔斯-默顿股票期权定价模型中对于1年后股票价格概率分布的假设是什么？对于1年内连续复利收益率分布的假设是什么？

15.2　股票价格的波动率为每年30%，在一个交易日内价格百分比变化的标准差为多少？

15.3　解释风险中性定价原理。

15.4　计算一个3个月期的无股息股票欧式看跌期权的价格，这里期权执行价格为50美元，股票当前价格为50美元，无风险利率为每年10%，波动率为每年30%。

15.5　如果预计股票在两个月后将支付股息1.5美元，练习题15.4中的结果会如何变化？

15.6　什么是隐含波动率？如何计算？

15.7　股票的当前价格为40美元，假定其收益率期望为15%，波动率为25%。在两年内的股票收益率（连续复利）的概率分布是什么？

15.8　某股票价格服从几何布朗运动，其中收益率期望为16%，波动率为35%，股票的当前价格为38美元。

（a）一个该股票上具有执行价格为40美元，期限为6个月的欧式看涨期权被行使的概率为多少？

（b）一个该股票上具有同样执行价格及期限的欧式看跌期权被行使的概率为多少？

15.9　采用本章中的记号，证明S_T的95%置信区间介于

之间。

15.10　一个组合经理声称自己在过去10年中平均每年的收益率为20%，这种说法在什么方面会引起误解？

15.11　假定一个无股息股票的收益率期望为μ，波动率为σ。一个具有创新意识的金融机构刚刚宣布它将交易在时刻T收益为lnS_T的衍生产品，其中S_T为股票在T时刻的价格。

（a）采用风险中性定价理论来将衍生产品价格表达为股票价格S与时间t的函数。

（b）验证你得出的价格满足微分方程式（15-16）。

15.12　考虑一个在时间T提供收益为的衍生产品，其中S_T为股票在T时刻的价格。当股票价格服从几何布朗运动时，可以证明该衍生产品在时间t（t≤T）的价格具有以下形式

其中S为股票在时间t的价格，h为t和T的函数。

（a）将以上形式的解代入布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程，推导h（t，T）满足的常微分方程。

（b）h（t，T）所满足的边界条件是什么？

（c）证明

其中r为无风险利率，σ为股票价格的波动率。

15.13　计算以下无股息股票上欧式看涨期权的价格，其中股票价格为52美元，执行价格为50美元，无风险利率为每年12%，波动率为每年30%，期限为3个月。

15.14　计算以下无股息股票上欧式看跌期权的价格，其中股票价格为69美元，执行价格为70美元，无风险利率为每年5%，波动率为每年35%，期限为6个月。

15.15　考虑关于一个股票上的美式看涨期权，股票价格为70美元，期限为8个月，无风险利率为每年10%，执行价格为65美元，波动率为32%。在3个月及6个月时预计各有1美元的股息，证明在两个除息日行使期权永远不会是最佳选择。采用DerivaGem来计算期权的价格。

15.16　一个无股息股票上看涨期权的市场价格为2.5美元，股票价格为15美元，执行价格为13美元，期限为3个月，无风险利率为每年5%，隐含波动率为多少？

15.17　采用本章中的记号

（a）N′（x）等于什么？

（b）证明SN′（d₁）=Ke^{－r（T－t）}N′（d₂），其中S为股票在时间t的价格，以及

（c）计算和。

（d）证明当c=S₀N（d₁）－Ke^{－r（T－t）}N（d₂）时，以下方程成立

其中c为无股息股票上欧式看涨期权的价格。

（e）证明。

（f）证明c满足布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程。

（g）证明c满足欧式看涨期权的边界条件，即t→T时，c=max（S－K，0）。

15.18　证明由布莱克-斯科尔斯-默顿给出的期权公式满足看跌-看涨期权平价关系式。

15.19　股票的当前价格为50美元，无风险利率为5%，利用DerivaGem将以下欧式期权价格表转换为隐含波动率表，在计算中假定股票无股息。这些期权价格与布莱克-斯科尔斯-默顿的假设一致吗？

15.20　仔细解释为什么即使一个股票预期只发放一次股息时，布莱克方法只是对支付股息股票上美式期权的一个近似。由布莱克近似法得出的估计值会高估还是会低估期权价格？解释你的答案。

15.21　考虑关于某股票上的美式看涨期权，股票价格为50美元，期权期限为15个月，无风险利率为每年8%，执行价格为55美元，波动率为25%。股票在4个月与10个月时预计各有1.5美元的股息，证明在两个除息日行使期权不会是最佳选择，并计算期权价格。

15.22　采用本章中的记号，证明在风险中性世界里，一个欧式看涨期权将被执行的概率为N（d₂）。在T时刻，股票价格大于K时收益为100美元的衍生产品价格为多少？

15.23　利用式（15-17）中的结果来确定美式看跌期权的价值，期权标的股票不支付任何股息，当股票价格达到价格H时，期权回报为K，其中H<K。假定股票当前价格S高于H，H取什么样值时，期权价值为最大？推出具有执行价格K的美式看跌期权的价值。

15.24　某公司已经发行了管理人股票期权，当对期权进行定价时，是否应考虑稀释效应？解释你的答案。

15.25　某公司的股票价格为50美元，市场上共有1000万股。公司计划向其雇员发行300万5年期的平价看涨期权，在期权行使时，公司需要发行更多的股票，股票价格的波动率为25%，5年的无风险利率为每年5%，公司不发放股息。估算公司发行管理人期权的费用。