21.4　构造树形的其他方法

Cox、Ross和Rubinstein（CRR）方法并不是构造二叉树的唯一方法。在风险中性世界里，变量lnS在时间Δt内的变化的均值为（r-q-σ²/2）Δt，标准差为。这些均值与标准差可通过令p=0.5和

得到吻合。这种构造树形的方法与Cox、Ross和Rubinstein（CRR）的方法相比具有许多的优点：无论σ取什么值或步长是多少，树上的概率总是p=0.5。（注：当时间步骤很大，并使得。Cox、Ross及Rubinstein二叉树将会是负的概率，但在这里描述的方法没有这些缺点。）缺点是通过这种树形难以计算Delta、Gamma、Rho等希腊值，这是因为最初的股票价格不再是树形的中心。

例21-6

某一汇率上9个月期限的美式期权执行价格为0.7950。当前的汇率为0.7900，国内无风险利率为每年6%，外国无风险利率为每年10%，汇率的波动率为4%，这时S₀=0.79，K=0.795，r=0.06，rf=0.10，σ=0.04与T=0.75。我们取Δt=0.25（3步），而且树上每个分支的概率为0.5，因此

汇率二叉树如图21-11所示。由二叉树得出的期权价格为0.0026。

图21-11　外汇上美式看涨期权定价二叉树（节点上面的数值为汇率，下面的数值为期权价格，所有的概率均为0.5）

三叉树

三叉树可用来代替二叉树。三叉树的一般形式如图21-12所示。假定在树形的每个节点上价格变化为上升、取中间值、下降的概率分别为p_u、p_m和p_d，树形的时间步长为Δt。假定股票支付股息收益率q，以下参数可以保证树形的均值和标准差与股票价格的均值和标准差相吻合

三叉树的计算过程与二叉树类似，计算由树尾倒推到树的起点。在每一个节点上，我们需要计算行使期权的价值与继续持有期权的价值。继续持有期权的价值等于

其中f_u、f_m和f_d分别为在下一步节点上对应于价格上升、取中间值和下降时的期权价格。可以证明，三叉树与21.8节中讨论的显式差分方法等价。

Figlewski和Gao提出了一种改进三叉树的方法，他们称此方法为自适应网格模型（adaptive mesh model）。该模型在粗网格（Δt较大）的树形里加入细网格（Δt较小）的树形。^[1]对于一般美式期权定价，在期权接近满期、资产价格接近执行价格的区域里加入细网格是最有效的。

图21-12　股票价格的三叉树

[1] 见S.Figlewski and Gao，“The Adaptive Mesh Model：A New Approach to Efficient Option Pricing，”Journal of Financial Economics，53（1999）：313-51。