28.8　计价单位变换

在这一节里，我们考虑计价单位的变换对一个市场变量所服从随机过程的影响。首先假定市场变量是一个可交易证券的价格f。如果在一个世界里dz_i的风险市场价格为λ_i，我们将会有

与此类似，当风险市场价格为时

从这里我们可以看到，从第一个世界转换到第二个世界将会使一个可交易证券f的增长率期望增加

下面我们考虑一个不是可交易证券价格的变量v。对于风险市场价格的变化，在网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes里的Technical Note 20中证明了v增长率期望的变化与可交易证券价格增长率的变化是一样的，增长量为

其中σ_v，i为v波动率的第i个成分。

当我们从一个计价单位g变化成另一个计价单位h时，λ_i=σ_g，i和=σ_h，i。定义w=h/g和w波动率的第i个成分为σ_w，i。由伊藤引理（见练习题28.13），我们得出

于是式（28-33）变成了

我们把w称为计价单位比率（numeraire ratio）。式（28-34）等价于

其中σ_v为v的总波动率，σ_w为w的总波动率，ρ为v和w之间的瞬时相关系数。（注：为了说明这一点，我们注意在很短一段时间Δt里，v和w的变化Δv和Δw可由以下方程给出

由于dz_i之间互不相关，可以得到当i≠j时E（ε_iε_j）=0，并且由ρ的定义，我们有

忽略比Δt高的项时可以得出

）

这个结果简单得令人惊奇。当从一个计价单位转换成另外一个计价单位时，一个变量v的增长率将会增加，而增加的幅度是v百分比变化和计价单位比率百分比变化的瞬时协方差。在第30章中我们将把这个结果用在对时间调整和Quanto调整的问题上。

本章中结果的一个特殊情形是从现实世界转换成传统风险中性世界（这时所有的风险市场价格均为零）。由式（28-33）可知v的增长率的变化为。这对应于当v是可交易证券价格时式（28-13）中的结果。我们还证明了当v不是可交易证券价格时这个结果也是成立的。一般来讲，将一个不是可交易证券价格的变量从一个世界转换到另一个世界与可交易证券价格的情形是相同的。