26.13　亚式期权

亚式期权（Asian option）的收益同标的资产在期权有效期内价格的算术平均有关。平均价格看涨期权（average price call option）的收益为max（0，S_ave－X），平均价格看跌期权（average price put option）的收益为max（0，X－S_ave），其中S_ave为标的资产价格的平均值。平均价格期权比普通期权便宜，并且往往可能更适合公司资金部主管的需求。假设一家美国公司的资金部主管预计在明年内会陆续而且均匀地接收其澳大利亚子公司1亿澳元的现金流，该主管会有可能对一种能够保证该年内平均汇率高于某一水平的某种期权感兴趣。平均价格看跌期权比普通看跌期权更能满足其需求。

如果假定S_ave服从对数正态分布，那么我们可以利用和普通期权类似的公式来对平均价格期权定价。但是，我们通常假设标的资产价格服从对数正态分布，这样做是比较合理的。^[1]一种比较流行的处理方法是将一个对数正态分布的前两阶矩与S_ave的前两阶矩相匹配，然后再采用布莱克模型。^[2]假定M₁和M₂是S_ave的前两阶矩。平均价格看涨期权与看跌期权价值由式（18-9）和式（18-10）给出，其中

以及

其中的平均值是按连续的方式计算的，r，q和σ均为常数（和DerivaGem的假设一样）：

以及

在更一般的情况下，当平均值是由时刻T_i（1≤i≤m）的价格计算时

其中F_i和σ_i分别为对应于期限T_i的远期价格和隐含波动率。在网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes里的Technical Note 27是对这个公式的证明。

例26-3

考虑一个最新发行的无股息股票上平均价格看涨期权，股票的当前价格为50，执行价格为50，股票价格的波动率为每年40%，无风险利率为每年10%，期限为1年，这时S₀=50，K=50，r=0.1，q=0，σ=0.4和T=1。如果平均值是按连续计算得出的，M₁=52.59，M₂=2922.76。由式（26-3）和式（26-4）得出F₀=52.59，σ=23.54%，在式（18-9）中设定K=50，T=1以及r=0.1，得出期权价值为5.62。当假定在计算平均值时对股票价格所观察的次数为12、52和250时，期权的价格分别为6.00、5.70和5.63。

对以上分析进行修改，我们可以将其用在对不是新发行的期权而且已经观察到一部分用于计算平均值的股票价格的情形。假定计算平均价格包括已经观察到价格的长度为t₁的时间段，而t₂时间段为期权的剩余期限。假定资产价格在t₁时间段的平均值为，期权的收益为

其中S_ave为资产价格在剩余期限内的平均值。以上公式定价于

其中

当K>0时，可以采用与刚刚开始的亚式期权定价相同的方式来对以上期权定价。在计算中，K被K代替，最终结果要乘以t₂/（t₁+t₂）。当K^*<0时，期权肯定被行使，因此可以将期权当成远期合约来定价

另外一种类型的亚式期权为平均执行价格期权（average strike option）。平均执行价格看涨期权（average strike call option）的收益为max（0，S_T－S_ave），而平均执行价格看跌期权（average strike put option）的收益为max（0，S_ave－S_T）。平均执行价格期权可以保证在一段时间内频繁买入标的资产的平均价格不会高于最终价格。另外，平均执行价格期权也可以保证在一段时间内频繁卖出标的资产的平均价格不会低于最终价格。当假定S_ave服从对数正态分布时，我们可以将这类期权当成资产交换期权来定价。

[1] 当资产价格服从几何布朗运动时，价格的几何平均服从对数正态，但是算术平均只是大约服从对数正态分布。

[2] 见S.M.Turnbull and L.M.Wakeman，“A Quick Algorithm for Pricing European Average Options，”Journal of Financial and Quantitative Analysis，26（September 1991）：377-89.