30.2　时间调整

在本节里我们考虑如下情形，我们观察一个市场变量的时间为T，但这一观察值却被用来计算发生在之后的时间T^*的收益。定义：

V_T：V在时间T的取值；

E_T（V_T）：在一个关于P（t，T）为远期风险中性的世界里V_T的期望值；

：在一个关于P（t，T^*）为远期风险中性的世界里V_T的期望值。

从计价单位P（t，T）转移到计价单位P（t，T^*）时，计价单位比率（见28.8节）为

这是在T与T^*之间的零息债券远期价格。定义：

σ_V：V的波动率；

σ_W：W的波动率；

ρ_VW：V和W之间的相关系数。

由式（28-35）我们知道，由于计价单位的变化会导致V的增长率增加α_V，其中

我们可以用T与T^*之间的远期利率来表达这一结果。定义：

R：T与T^*之间的远期利率，其复利频率为m；

σ_R：R的波动率。

W与R之间满足

W的波动率与R的波动率之间的关系可以通过伊藤引理得出

因此

从而式（30-3）变为（注：变量R和W之间具有负相关性，我们可以通过设定σ_W=－σ_R（T^*－T）/（1+R/m）（这是个负数），以及ρ_VW=ρ_VR来反映这一点。另一种做法是改变σ_W的符号而保证它为正值，同时令ρ_VW=－ρ_VR。在两种不同方法下，我们都可以得到关于α的同样结论。）

其中ρ_VR=－ρ_VW是V与R之间的瞬时相关系数。作为近似，我们假设R为常数并等于初值R₀，并且假设关系式中的波动率和相关系数均为常数，因此在时间0可以得到

例30-3

考虑一个衍生产品，它在6年后提供的收益等于在5年所观察到股指值。假如一个5年期合约的股指远期值为1200，股指波动率为20%，在第5年与第6年之间远期利率的波动率为18%，并且两者之间的相关系数为-0.4。进一步假设零息利率曲线呈水平状，年复利利率为8%。我们将刚才得到的结果应用于这一情形，其中V等于股指价值。这时，T=5、T^*=6、m=1、R₀=0.08、ρ_VR=－0.4、σ_V=0.20和σ_R=0.18，于是

即=1.00535E_T（V_T）。由第28章的结果我们得出E_T（V_T）为股指的远期值，即1200。于是=1200×1.00535=1206.42。再利用第28章中的结论，由式（28-20）得出，衍生产品的价值为1206.42×P（0，6），其中P（0，6）=1/1.08⁶=0.6302。所以，衍生产品的价值为760.25。

再谈应用1

由刚才的分析，我们可以采用另外一种途径得出上一节里应用1中的结果。利用以上的记号，我们定义R_T为T与T之间的利率，R₀为T与T之间的远期利率。由式（27-22）得出

令V等于R，应用式（30-4）得出

其中τ=T^*－T（注意m=1/τ），于是

或

利用指数函数近似式，我们可以得出

这正是式（30-2）里的结果。