14.3　描述股票价格的过程

在这一节里我们讨论通常对无股息股票的价格所假设的随机过程。

我们可能会想假设股票价格服从广义维纳过程，也就是说，它具有不变的漂移率期望值和不变的方差率。但是，这一模型却没有抓住股票价格的一个关键特性，即投资者所要求的预期收益率与股票价格无关：如果投资者在股票价格等于10美元时要求预期收益率为14%，那么在其他条件相同时，投资者在股票价格等于50美元时也同样会要求收益率为14%。

显然，漂移率期望值不变的假设是不合理的，该假设应修正为收益率期望（即漂移率期望值除以股票价格）为常数。如果股票在t时刻的价格为S，那么股票的期望漂移率应为μS，其中μ为常数。这一假设意味着在一段很短的时间Δt内，股票S的期望增量为μSΔt，其中μ为股票的收益率期望值。

如果dz的系数是0，即没有不确定性，那么这个模型变为

当Δt→0时，其极限形式为

即

由0到T对变量t进行积分，我们得出

其中S₀和S_T分别为股票在0时刻和T时刻的价格。式（14-5）说明，当方差为0时，股票价格在单位时间内的连续复利增值率为μ。

当然，实际中的股票价格存在不确定性。一个比较合理的假设是无论股票价格为多少，在一段较短时间Δt内股票价格百分比收益的变动性都一样。换句话讲，投资者在股票价格为50美元和10美元时对股票百分比收益的不确定性有同样的观点。这意味着在很短时间Δt后，股票价格变化的标准差应与股票价格成正比，因此得出的模型是

或者

式（14-6）是描述股票价格行为时最为广泛使用的一种模型。变量μ为股票价格的收益率期望值。变量σ为股票价格的波动率，而变量σ²为股票价格的方差率。式（14-6）可被视为在现实世界里的股票价格过程。在风险中性世界里，μ等于无风险利率r。

14.3.1　离散时间模型

我们以上建立的关于股票价格变化的模型叫几何布朗运动（geometric Brownian motion）。模型的离散形式为

或

变量ΔS为股票价格在一小段时间区间Δt内的变化，ε服从标准正态分布（期望值为0，方差为1.0）。参数μ为股票在单位时间内的收益率期望值，参数σ为股票价格的波动率。在这一章里我们假定以上两个参数均为常数。

式（14-7）的左端是股票在短时间Δt内的收益率离散近似，μΔt项是收益率的期望值，而是收益率的随机部分。随机部分的方差为σ²Δt，从而全部收益的方差也是σ²Δt。这与13.7节里定义的波动率是一致的，即σ的值使得为股票在短时间Δt内收益率的标准差。

式（14-7）表明ΔS/S服从正态分布，期望值为μΔt，标准差为，换句话讲

例14-3

考虑某只无股息股票，其波动率为每年30%，连续复利收益率期望为15%。这时，μ=0.15，σ=0.30。股票价格的过程为

如果S是股票在某一时刻的价格，ΔS为股票价格在此后一个短时间区间内的增量，则过程的离散近似为

其中ε服从标准正态分布。假定时间间隔为1星期，即0.0192年，那么Δt=0.0192

或

14.3.2　蒙特卡罗模拟

一个随机过程的蒙特卡罗模拟是一种对过程随机抽样的程序。这种方法可以帮助我们理解式（14-6）的含义。

考虑例14-3的情形，其中股票的收益率期望值为每年15%，波动率为每年30%。股票价格在1周内的变化近似为

我们可以重复地从φ（0，1）中抽取ε的样本，并代入式（14-10）来模拟股票价格在10周内变化的路径。Excel中的表达式=RAND（）可用于产生0与1之间的随机数，正态分布的反函数是NORMSINV。因此由标准正态分布中取样的指令是=NORMSINV（RAND（））。表14-1显示了由这种方法来产生的股票价格的一条路径。股票价格的初始值为100美元。在第1段时间里，从φ（0，1）中抽取的随机数为0.52，由式（14-10）得出股票价格变化为

表14-1　当μ=0.15，σ=0.30，以及时间长度为一周时的股票价格的模拟值

因此在第2段时间开始时，股票价格为102.45美元。在第2段时间里，ε的随机抽样为1.44。由式（14-10）得出在第2段时间内股票价格变化为

因此，在下一段时间开始时，股票价格为108.88美元，等等。^[1]注意，因为我们进行抽样的过程为马尔科夫过程，所以每一步对ε的抽样必须相互独立。

在表14-1中假定股票价格被精确到美分，我们应该认识到这一表格只显示了股票价格变动的一种可能方式。不同的随机抽样会产生不同的价格变动。在模拟中，我们可以采用任意小的时间步长Δt。在Δt→0的极限状态下可以取得对于随机过程的完美描述。在表14-1中，股票的最终价格111.54可以被看成在10个星期后股票价格的一个随机样本。反复进行如表14-1所示的模拟，我们可以得出在这段时间后股票价格的一个完整的概率分布。在第21章中我们将进一步详细描述蒙特卡罗模拟。

[1] 在实际中，我们应对lnS进行抽样，而不是对S进行抽样，这样效率会更高，我们将在21.6节讨论这一做法。