26.17　静态期权复制

如果我们采用第19章中描述的方式来对冲特种期权，我们会发现有些特种产品比较容易处理，而有些产品，因为不连续条件的缘故，处理起来非常困难（见业界事例26-1）。对于这些难以处理的情形，有一种叫作静态期权复制（static options replication）的对冲方式有时会有用。^[1]静态对冲的目的是寻求市场上交易活跃的产品组合来近似地复制特种期权。卖空复制的期权组合将会达到对冲的目的。^[2]

业界事例26-1　对于特种产品进行Delta对冲是更加困难还是更加容易

如第19章所述，我们可以通过构造Delta中性交易，并不断对交易组合进行调整来保证Delta中性来对冲特种产品。这样做时我们会发现对有些特种产品的对冲比简单产品对冲要更加容易，而对某些产品的对冲要比对简单产品对冲更难。

例如，亚式看涨期权的对冲相对来讲就较为容易，随着时间的改变，我们会观察到越来越多的资产价格，而这些价格被用来计算最后的平均值。这意味着随着时间的推移，最终期权收益的不定性会逐渐减小。因此，期权也就会逐渐变得越来越容易被对冲。在期权接近满期的最后几天，因为基础资产价格对期权价格影响越来越小，期权的Delta趋近于零。

与以上产生鲜明对照的是障碍期权。对这种期权进行对冲难度相对较大。考虑一个欧式看涨-敲出期权，期权标的变量为汇率，当前汇率比障碍水平高0.0005，在汇率达到障碍水平时，期权价值变为零，当障碍没有达到时，期权的收益也许很好。障碍期权的Delta在障碍值附近不连续，从而使得进行传统方式的对冲会很困难。

静态对冲的基本原理如下：如果两个交易组合在某个边界上的价值相同，那么它们在边界的内部点上价值也相同。考虑某无股息股票上9个月期限的上涨-敲出看涨期权，股票价格为50，执行价格为50，障碍水平为60，无风险利率为每年10%，波动率为每年30%。假定f（S，t）是当股票价格为S、时间为t时的期权价格。我们可以利用任意（S，t）空间的边界来产生复制交易组合。一种方便的做法如图26-1所示，边界由S=60和t=0.75定义。上涨-敲出看涨期权在边界值上的价格由以下表达式给出

利用普通期权，我们可以通过许多方式在边界上近似地匹配期权的价格。在第一个边界上与期权达到匹配的一个产品是执行价格为50、期限为9个月的欧式看涨期权。因此，复制组合中的第一个成分就是一份该期权（我们将该期权记为A）。

图26-1　用于静态期权复制的边界点

一种与f（60，t）边界进行匹配的做法如下：

（1）首先将期权期限分成N个长度为Δt的区间；

（2）选择欧式看涨期权，期权执行价格为60，期限为NΔt（=9个月）来匹配边界点{60，（N－1）Δt}。

（3）选择欧式看涨期权，期权执行价格为60，期限为（N－1）Δt来匹配边界点{60，（N－2）Δt}，等等。

注意，我们按顺序选择期权来保证在已经被前面期权所匹配的边界上取值为0。^[3]执行价格为60、期限为9个月的期权在已经被期权A匹配的竖直边界上的取值为0。在iΔt到期的期权在边界点{60，iΔt}上的值为0，这些点已经被在（i+1）Δt到期的期权匹配（1≤i≤N－1）。

假定Δ=0.25。除了期权A，复制组合还包括执行价格为60，期限分别为9个月、6个月和3个月的欧式期权。我们将这些期权分别称为B，C和D。在给定的波动率和利率的条件下，期权B在{60，0.5}边界点上的价值为4.33，在这一点上期权A的价值为11.54，为了与边界点{60，0.5}进行匹配，持有期权B的数量应为-11.54/4.33=-2.66。期权C在{60，0.25}边界点上的价值为4.33，在这一点上期权A和B的组合的价值为-4.21，为了与边界点{60，0.25}进行匹配，持有期权C的数量应为4.21/4.33=0.97。类似可以得出，为了与边界点{60，0}进行匹配，持有期权D的数量应为0.28。

在表26-1中，我们将复制期权组合进行了总结（见DerivaGem应用工具软件的实例应用F（Sample Application F））。复制期权组合的初始值为0.73（即时间为0、股价等于50时）。由本章初的解析公式得出上涨-敲出期权的价格为0.31。复制期权组合的价格与上涨-敲出期权的价格有很大出入，这是因为复制期权组合的价格只在第二个边界上的3个点与上涨-敲出期权的价格达到匹配。如果采用同样的做法，我们在第二个边界上的18个点（即采用每半个月到期的期权）与上涨-敲出期权的价格达到匹配，复制期权组合的价值为0.38。采用100个点，复制期权组合的价值会下降到0.32。

表26-1　用于复制上涨-敲出欧式期权的欧式期权组合

为了对冲期权，我们可以卖空满足边界条件的复制期权组合。当达到边界点时，复制组合中的相应交易必须被平仓。

与Delta对冲相比，该类对冲的好处在于不需要经常对它做调整。静态对冲可应用的范围广泛，在对期权进行复制的过程中，用户可以自由选择匹配价格的边界与期权类型。

[1] 见E.Derman，D.Ergener，and I.Kani，“Static Options Replication，”Journal of Derivatives 2，4（Summer 1995）：78-95。

[2] 网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes上的Technical Note 22给出了一个静态复制的例子。我们可以证明，一个资产的方差率可以通过交易标的资产的虚值期权来复制，由这一结果我们可以得出用于对冲方差互换的式（26-6）。

[3] 这不是必需条件。如果有K个边界点需要匹配，我们可以选择K个期权并通过对K个线性方程所组成的方程组求解来确定期权的头寸。