32.2　LIBOR市场模型

HJM模型的一个缺陷是它由瞬时远期利率来表示的，而这些利率并不能直接在市场上观测到。另一个缺陷是很难利用在市场上交易活跃的产品来校正模型，这使得Brace、Gatarek和Musiela（BGM），Jamshidian，Miltersen、Sandmann和Sondermann提出了新的模型。^[1]这个模型被称为LIBOR市场模型（LIBOR Market Model，LMM），或BGM模型（BGM model），该模型是针对交易员使用的远期利率而建立的。

32.2.1　模型

定义t₀=0，并设t₁，t₂，…为目前在市场上交易的上限重置时间。在美国，最流行的上限是按季度重置的，因此t₁=0.25，t₂=0.5，t₃=0.75，等等。定义δ_k=t_k+1－t_k，以及

F_k（t）：时间t所观察的在时间t_k与t_k+1之间按δ_k时间段复利的远期利率，这里δ_k以“实际天数/实际天数”（actual/actual）计天惯例来表示；

m（t）：对应于时间t的下一个重置日，这意味着m（t）是使得t≤t_m（t）的最小整数；

ζ_k（t）：F_k（t）在时间t的波动率。

我们首先假设只有一个因子。如28.4节所示，在一个对P（t，t_k+1）为远期风险中性的世界里，F_k（t）是一个鞅，并且服从以下过程

其中dz为维纳过程。

债券价格P（t，t_k+1）的过程具有如下形式

因为债券价格与利率之间有负相关性，v_k（t）为负值。

在实际中，给利率期权定价最方便的方式是考虑对某个债券为远期风险中性的世界，这个债券总是等于在下一个重置日到期的零息债券。我们将这个世界称为滚延远期风险中性世界（rolling forward risk-neutral world）。（注：在28.4节的术语下，这个世界里以滚延定期存单（rolling CD）为计价单位。滚延定期存单是指我们以1美元开始，买入在t₁到期的债券。在t₁时刻，以收入的资金买入在t₂到期的债券；在t₂时刻，将收入的资金买入在t₃到期的债券；等等。严格地讲，我们在第31章构造的树形结构是在关于以滚延远期风险中性世界里，而不是在传统的风险中性世界里进行的。这里的滚延定期存单要在每一个时间步上进行滚延。）在这个世界里，我们对时间t_k+1到t_k之间的贴现是利用在t_k所观察到的以t_k+1为期限的零息利率。在定价过程中，我们不需要考虑在时间t_k与t_k+1之间的利率会如何变化。

在时间t，滚延远期风险中性世界是关于债券价格P（t，t_m（t））为远期风险中性的。在式（32-7）里F_k（t）所遵循的过程是处在对P（t，t_k+1）为远期风险中性的世界里。由28.8节的结论，我们可以得出F_k（t）在滚延远期风险中性世界里所遵循的过程为

远期利率与债券价格之间的关系式为

或

利用伊藤引理，我们可以计算以上方程左端和右端所服从的过程，然后比较dz的系数得出^[2]

因此由式（32-8）可以得出，F_k（t）在滚延远期风险中性世界里的过程为

由式（32-4）给出的HJM结果是以上表达式当δ_i趋向于零时的极限情形（见练习题32.7）。

32.2.2　远期利率波动率

我们现在将模型进行简化，假设ζ_k（t）仅是介于t之后的第一个重置日与时间t_k之间完整累计区间数目的函数，当其中有i个这样的区间时，定义Λ_i为ζ_k（t）的值，因此ζ_k（t）=Λ_k－m（t）是一个阶梯函数。

这些Λ_i参数（至少在理论上）可以由布莱克模型里对于上限单元定价的波动率来进行估计（也就是图29-3中的即时波动率）。^[3]假设σ_k为对应于时间t_k到t_k+1之间区间上限单元的布莱克波动率。比较方差项，我们可以得出

我们可以利用以上方程以递推的形式求得所有的Λ。

例32-1

假设δ_i都相等，前3个上限单元的即时波动率分别为24%，22%和20%，这意味着Λ₀=24%，因为

由此得出，Λ₁为19.80%，又因为

Λ₂为15.23%。

例32-2

考虑表32-1中上限单元波动率σ_k的数据。这些数据呈现出我们在29.3节讨论过的驼峰状态。Λ的值显示在第2行。注意，Λ呈现比σ更为明显的驼峰形状。

表32-1　波动率数据；累计区间为1年

32.2.3　模型的实现

LIBOR市场模型可以用蒙特卡罗模拟来实现。将式（32-10）以Λ_i表达

利用伊藤引理

作为近似，在计算lnF_k（t）的漂移项时，我们假定对于t_j<t<t_j+1，F_i（t）=F_i（t_j），这时

其中ε是均值为0、标准差为1的正态分布随机样本。在蒙特卡罗模拟中，这个方程可以用来由在时间0的远期利率来计算t₁的远期利率，然后再用来计算t₂的远期利率，等等。

32.2.4　多因子情形下的推广

LIBOR模型可以被推广到包含多个因子的情形。假设共有p个因子，ζ_k，q表示F_k（t）的波动率中来源于第q个因子的部分。式（32-10）可以被表达为（见练习题32.11）

当从下一个重置日到远期合约到期日之间总共有i个累计区间时，定义λ_i，q为波动率中的第q个部分，式（32-14）变为

其中ε_q是均值为0、标准差为1的正态分布随机样本。

当假设远期利率的漂移率在每个累计区间上为常数时，在进行模拟中我们可以从一个重置日跳到下一个重置日。这是一个很方便的假设，因为我们已经提到过，滚延远期风险中性世界使得我们可以从一个重置日贴现到下一个重置日。假设我们想模拟一条具有N个累计区间的零息曲线，在每次实验中，我们从时间0的远期利率开始，这些是由初始零息曲线计算出的利率F₀（0），F₁（0），…，F_N－1（0）。利用式（32-16）可以计算出F₁（t₁），F₂（t₁），…，F_N－1（t₁），然后再利用式（32-16）可以计算出F₂（t₂），F₃（t₂），…，F_N－1（t₂），依此类推，直到最后得出F_N－1（t_N－1）。注意，随着时间的推移，零息曲线变得越来越短。例如，假设每个区间长度为3个月以及N=40，我们从一个10年的零息曲线开始，在6年的时间点上（时间为t₂₄）所做的模拟给了我们关于一条4年零息曲线的信息。

我们可以利用式（32-16）计算上限单元价格，并将得出的价格与布莱克模型的价格进行比较，这样可以检验对漂移项所做假设（即对t_j<t<t_j+1，F_i（t）=F_i（t_j））的近似程度。F_k（t_k）的值是t_k与t_k+1之间所实现的利率，这样可使我们计算上限在时间t_k+1上的收益，再逐个在每个累计区间上对这个收益进行贴现，直到时间0。上限单元价格是贴现后收益的平均值。以这种形式所做的分析证明，由蒙特卡罗模拟得出的结果与布莱克模型所得结果并无很大差别，即使当累计区间为1年时，大量抽样后所得出的结果证明这一点仍然正确。^[4]这说明我们对漂移项所做的假设并无大碍。

32.2.5　跳动上限、黏性上限和灵活上限

LIBOR市场模型也可以用来对一些非标准形式的上限定价。考虑跳动上限（ratchet cap）与黏性上限（sticky cap），这些产品含有一些确定每个上限单元利率的规则。跳动上限的上限率等于上一个重置日的LIBOR利率加上一个利差，黏性上限的利率等于前一阶段被封顶后的上限率加上一个利差。假设在时间t_j的上限率为K_j，在时间t_j的LIBOR利率为R_j，利差为s。在跳动上限里K_j+1=R_j+s，而在黏性上限里K_j+1=min（R_j，K_j）+s。

表32-2和表32-3给出了由单个、2个和3个因子的LIBOR市场模型以LIBOR贴现计算出的跳动上限和黏性上限的价格。在这里，本金为100美元，期限结构为水平状，利息为年息5%（连续复利或5.127%按年复利），上限波动率如表32-1所示，其中利率每年重置一次，利差为按年复利利率上的25个基本点。表32-4和表32-5展示了当模型含有2个和3个因子时，如何对波动率进行分解。这些结果是基于100000次蒙特卡罗模拟以及在21.7节中描述的对偶变量技巧，每个价格的标准差为0.001。

表32-2　跳动上限的定价

表32-3　黏性上限的定价

第3种非标准上限是灵活上限（flexi cap），它与普通上限一样，但对可以被行使的上限单元的总数却有限制。考虑一个按年支付的灵活上限，本金为100美元，期限结构为水平状，利率为5%，上限波动率如表32-1、表32-4和表32-5所示。假如在所有的实值上限单元中可以最多行使5次，对于单个、2个和3个因子的情形，LIBOR市场模型给出的价格分别为3.43、3.58和3.61（对于其他类型的灵活上限，见作业题32.15）。

表32-4　2个因子模型中的波动率因子

基本类型的上限价格只依赖于总波动率，而与因子的数目无关。这是由于基本类型的上限单元只依赖于一个远期利率的变化。我们所考虑的非标准产品的价格却与此不同，因为它们依赖于多个不同远期利率的联合分布。因此，这些非标准产品的价格确实依赖于因子的个数。

表32-5　3个因子模型中的波动率因子

32.2.6　欧式互换期权定价

在LIBOR市场模型下，存在一个对欧式互换期权定价的近似公式。^[5]假设我们以LIBOR进行贴现。令T₀为互换期权的期限，假设互换的支付日期为T₁，T₂，…，T_N。定义τ_i=T_i+1－T_i。由式（28-23）得出在时间t的互换利率为

对于1≤i≤N，以下公式同样正确

其中G_j（t）是时间t观察的T_j与T_j+1之间的远期利率。以上两个方程定义了s（t）与G_j（t）之间的关系。利用伊藤引理（见练习题32.12），互换利率s（t）的方差V（t）由下式给出

其中

其中β_j，q（t）为G_j（t）波动率的第q个部分。对所有的j和t，我们假定G_j（t）=G_j（0），并以此来计算V（t）的近似值。在标准市场模型中用来对互换期权定价的互换波动率为

或

在互换期权中标的互换合约的累计区间长度与上限单元累计区间长度一致的情形下，β_k，q（t）是期限为T_k－t的上限远期波动率的第q个部分，这可以从类似表32-5这样的表中查到。

在欧式互换期权经纪人报价中，互换期权累计区间并不总是与经纪人所报的上限和下限的累计区间一致。例如，在美国，标准上限和下限是按季度重置的，但标准欧式互换期权中的互换却是按半年重置。幸运的是，欧式互换期权的定价结果可以被推广到当每个互换累计区间都包含M个可以为典型上限累计区间的情形。定义τ_j，m为第j个累计区间中的第m个时间区间，于是

定义G_j，m（t）为在时间t所观察的在τ_j，m累计区间上的远期利率，由于

通过修改推导式（32-18）的分析过程，我们可以使s（t）的波动率由G_j，m（t）（而不是G_j（t））的波动率来表示。可以证明（见练习题32.13），在对互换期权定价时，代入标准市场模型中的互换波动率为

其中β_j，m，q（t）为G_j，m（t）波动率的第q个部分，这是期限为从t到互换累计区间（T_j，T_j+1）中的第m个小区间开始时刻的上限远期利率的波动率。

式（32-18）和式（32-19）中互换波动率表达式涉及所做的近似G_j（t）=G_j（0）和G_j，m（t）=G_j，m（0）。赫尔和怀特对由式（32-18）和式（32-19）计算出的欧式互换期权价格与由蒙特卡罗模拟所得的价格做了比较，他们发现这两个价格非常接近。一旦LIBOR市场模型经过校正后，式（32-18）和式（32-19）就可提供一种计算欧式互换期权的快捷方法。分析人员由此可以确定相对于上限，欧式互换期权的价值是否太高或太低。我们在下面将会看到，分析人员也可以采用这些结果而以互换期权市场价格来校正模型。以上分析亦可推广到OIS贴现。

32.2.7　模型校正

参数Λ_j是在时间t所观察的t_k与t_k+1之间的远期利率波动率，其中在t与t_k之间共有j个完整累计区间。为了校正LIBOR市场模型，我们必须确定Λ_j，并且确定如何将其分配到λ_j，q上。这些Λ参数通常是由当前市场数据来确定的，但如何分配到λ上则是基于历史数据。

首先考虑如何由Λ值来确定λ值。我们可以将主成分分析法（见22.9节）用在远期利率数据上，并由此确定将Λ分配到λ的方式。主成分分析法模型为

其中M为因子的总个数（等于不同远期利率的个数），ΔF_j为第j个远期利率F_j的变化，α_j，q为第j个远期利率和第q个因子的因子载荷，x_q为第q个因子的因子得分。定义s_q为第q个因子得分的标准差。如果在LIBOR市场模型中所用的因子个数p等于因子总数M，那么对于1≤j，q≤M，我们可以设

当p<M时，我们必须对λ_j，q乘上一个比例使得

我们可以取

下面考虑对这些Λ参数的估计。式（32-11）提供了一种使它们与上限单元价格保持一致的方法。但在实际中，我们往往不使用这种方式，因为它会导致Λ值大幅度地摆动，甚至有时与上限报价一致的Λ并不存在。通常使用的矫正方法与31.8节里的单因子模型相似。假设U_i是第i个校正产品（一般是上限或欧式互换期权）的市场价格，V_i为模型价格。我们选取使得下式达到最小的Λ值

其中P是一个惩罚函数，选择函数的标准是通常使Λ取值“表现良好”。与31.8节类似，函数P可以取成以下形式

当一些校正产品为欧式互换期权时，式（32-18）与式（32-19）使得我们可利用Levenberg-Marquardt程序来求最小值。式（32-20）可被用来由Λ值来确定λ。

32.2.8　波动率偏态

经纪人对上限所报价格中既包括非平值上限也包括平值上限。在某些市场里我们可以观察到波动率偏态的现象，也就是说，对上限或下限的波动率报价（布莱克波动率）是执行价格的递减函数，这一波动率特性可由CEV模型来处理（见26.1节中CEV模型在股权中的应用），CEV模型表达形式为

其中α为常数（0<α<1）。这种模型可以由与对数正态模型类似的方式处理。我们可以利用非中心χ²分布对上限或下限产品由解析方法定价，对于上面讨论的欧式互换期权也存在某种解析估计式。^[6]

32.2.9　百慕大式互换期权

百慕大式互换期权（Bermudan swap option）是一种非常流行的利率衍生产品，这种互换期权行使时间可以是标的互换的某些支付日或所有支付日。利用LIBOR市场模型对百慕大式互换期权定价非常困难，这是因为LIBOR市场模型依赖于蒙特卡罗模拟，而使用蒙特卡罗模拟时对是否提前行使决策的判断非常困难。幸运的是，我们可以利用在27.8节中描述的处理方法来对产品定价。当存在许多因子时，Longstaff和Schwartz利用了最小二乘法的处理方式，他们假定在一个支付日上不被行使的期权价格为因子值的多项式函数。^[7]Andersen证明了在定价过程中，可以采用最优提前行使边界的处理方式。Andersen对不同形式的提前行使边界参数化形式进行了比较，并发现当假设提前行使边界只依赖于期权内在价值时，计算效果很好。^[8]对百慕大式互换期权定价时，大多数交易员使用在第31章中介绍的单因子无套利模型。但是，使用单因子模型对百慕大式互换期权定价的精确性仍然是一个很有争议的问题。^[9]

[1] 见A.Brace，D.Gatarek，and M.Musiela，“The Market of Interest Rate Dynamics，”Mathematical Finance7，2（1997）：127-55；F.Jamshidian，“LIBOR and Swap Market Models and Measures，”Finance and Stochastic，1（1997）：293-330；以及K.Mitersen，K.Sandmann，and D.Sondermann，“Closed Form Solutions for Term Structure Derivatives with LogNormal Interest Rate，”Journal of Finance，52，1（March 1997）：409-30。

[2] 由于v和ζ的符号相反，当期限增长时，债券价格波动率（绝对值）也将会增大，这正是所预料的。

[3] 在实际中，Λ是由我们后面将讨论的最小二乘校正法来确定的。

[4] 见J.C.Hull and A.White，“Forward Rate Volatilities，Swap Rate Volatilities，and the Implementation of the LIBOR Market Model，”Journal of Fixed Income，10，2（September 2000）：46-62。唯一例外是当上限波动率很高的情形。

[5] 见J.C.Hull and A.White，“Forward Rate Volatilities，and the Implementation of the LIBOR Market Model，”Journal of Fixed Income，10，2（September 2000）：46-62。其他解析形式的近似方法见以下文章：A.Brace，D.Gatarek，and M.Musiela，“The Market of Interest Rate Dynamics，”Mathematical Finance7，2（1997）：127-55；L.Andersen and J.Andreasen，“Volatility Skews and Extensions of the LIBOR Market Model，”Applied Mathematical Finance，7，1（2000）：1-32。

[6] 关于这种方法的细节，见L.Andersen and J.Andreasen，“Volatility Skews and Extensions of the LIBOR Market Model，”Applied Mathematical Finance，7，1（2000）：1-32；J.C.Hull and A.White，“Forward Rate Volatilities，and the Implementation of the LIBOR Market Model，”Journal of Fixed Income，10，2（September 2000）：46-62。

[7] 见F.A.Longstaff and E.S.Schwartz，“Valuing American Options by Simulations：A Simple Least Square Approach，”Review of Financial Studies，14，1（2001）：113-47。

[8] 见L.Andersen，“A Simple Approach to the Pricing of Bermudan Swaptions in the Multifactor LIBOR Market Model，”Journal of Computational Finance，3，2（Winter 2000）：5-32。

[9] 关于反对观点，见L.Andersen和J.Andreasen的文章“Factor Dependence of Bermudan Swaptions：Fact or Fiction，”和F.A.Longstaff，P.Santa-Clara和E.S.Schwartz的文章“Throwing Away a Billion Dollars：The Cost of Suboptimal Exercise Strategies in the Swaption Market.”两篇文章均发表在Journal of Financial Economics，62，1（October 2001）。