11.5　无股息股票上看涨期权

在这一节里，我们将说明在到期之前行使无股息股票上美式看涨期权永远不会是最佳选择。

为了说明问题的基本原理，考虑一个不付股息而且期限为1个月的美式看涨期权，股票价格为70美元，期权的执行价格为40美元。这一期权实值程度很大，期权的持有者可能会很想马上行使期权。但是，如果投资者计划在行使期权后将所得股票持有1个月以上，那么这不会是最佳策略。更好的方案是持有期权并在1个月后（即在到期日）行使期权，这样做可以使40美元的执行价格比马上行使晚1个月付出，因此可以挣到40美元在1个月内的利息。因为股票不付任何股息，投资者不会损失任何由股票带来的收入。持有期权而不马上行使期权的另一个好处是股票在1个月内有可能会低于40美元（尽管机会不大）。在这种情况下，投资者将不会行使期权，并且会很庆幸在1个月前没有提前行使期权。

以上讨论说明，如果投资者计划在期权的剩余期限内持有股票（本例中的期限为1个月），提前行使期权没有任何好处。但如果投资者认为股票的价格被高估了，这时是否应行使期权然后将股票卖掉呢？在这种情况下，投资者应卖掉期权，而不是行使期权。^[1]那些确实想持有股票的投资将会购买期权，而这样的投资者一定会存在，否则股票的当前价格就不会是70美元。综上所述，期权价格会大于其内涵价值30美元。

为了给出一个正式论证，我们利用式（11-4）

因为美式期权的持有者行使期权的机会包括欧式期权行使期权的机会，所以C≥c，因此

由于r>0，当T>0时我们有C>S₀－K。这说明在到期之前期权价格C总是大于其内涵价值。如果提前行使期权，C将等于在行使时的内涵价值，因此，提前行使期权不会是最优。

总结上面所述，不应当提前行使期权的原因有两个：一个与期权所提供的保险有关。拥有期权（而不是股票）实际上是对持有者提供了股票价格不会低于执行价格的保险，一旦行使了期权，而将执行价格换成了股票，那么失去了这种保险。另一个原因与货币的时间价值有关。从期权持有者的角度讲，付出执行价格越晚越好。

上下界

由于在没有股息时永远不会提前行使美式看涨期权，所以C=c。由式（11-1）和式（11-4），期权价值的上下界分别为

这些上下界显示在图11-3中。

图11-4显示了期权价格与标的股票价格S₀之间的一般关系式。随着r或T或股票价格波动率的增长，看涨期权与股票价格关系的图形会朝箭头所示方向移动。

图11-3　当没有股息时，美式与欧式看涨期权价格的上下界

图11-4　当没有股息时，美式与欧式看涨期权的价格与股票价格S₀之间的变化关系。当利率、期限或股票价格波动率增长时，曲线朝箭头所指方向移动

[1] 另一种策略是投资者保留期权而卖空股票来锁定比10美元更多的盈利。