附录13A　由二叉树模型推导布莱克-斯科尔斯-默顿期权定价公式

推导著名的布莱克-斯科尔斯-默顿欧式期权定价公式有许多方法，其中一种是在二叉树模型中令步数趋于无穷大。

假设我们利用n步二叉树对执行价格为K，期限为T的欧式看涨期权定价。每步的时间长度是T/n，如果在树上股票价值有j次向上移动，n－j次向下移动，最后的股票价格等于S₀u^jd^n－j，其中u是价格上涨的比例，d是下跌的比例，S₀是开始时的股票价格。欧式看涨期权的收益为

由二项分布的性质，j次向上移动，n－j次向下移动的概率为

因此看涨期权收益的期望值为

因为树形所表示的是在风险中性世界里股票价格的变化，所以我们应当用无风险利率贴现来得到期权价格

在式（13A-1）中，只有当股票价格高于执行价格的项才是非零的，即

或

因为和，这个条件等价于

或

因此式（13A-1）可以被写成

其中

为方便起见，我们定义

和

因此

首先考虑U₂。我们知道，当实验次数趋于无穷大时，二项分布将趋向于正态分布。具体地讲，当实验次数为n，成功的概率为p时，成功次数的概率分布近似地等于均值为np，标准差为的正态分布。式（13A-3）中的U₂是成功次数大于α的概率。由正态分布的性质，我们知道当n很大时

其中N为累积正态分布函数。将α代入该式，我们得到

由式（13-15）~式（13-18），我们有

将指数函数按级数展开后我们可以看到，当n趋于无穷大时，p（1－p）趋向于1/4，而则收敛于

所以当n趋于无穷大时，式（13A-6）成为了

我们现在考虑U₁。由式（13A-2）

定义

这时

式（13A-8）可以写成

因为在风险中性世界里，收益的期望值为无风险利率r，所以pu+（1－p）d=e^rT/n，且

这说明U₁涉及二项式分布，在这里上移的概率是p^*（而不是p）。通过由正态分布来近似二项分布，我们可以得到与式（13A-5）类似的结果

与式（13A-6）相似，代入α，将会得到

将u和d代入式（13A-9）

将指数函数按级数展开后我们可以看到，当n趋于无穷大时，p（1－p）趋向于1/4，而收敛于

所以当n趋于无穷大时

由式（13A-4）、式（13A-7）和式（13A-10），我们有

其中

和

这就是欧式看涨期权的布莱克-斯科尔斯-默顿公式。在第15章里我们将进一步讨论这个公式，并且在第15章的附录里会给出另一种推导方式。