23.1　估计波动率

定义σ_n为第n-1天所估计的市场变量在第n天的波动率，第n天波动率的平方为方差率（variance rate）。在第15.4节我们曾描述了如何从历史数据来估计σ_n的标准处理方法：假定市场变量在i天末的取值为S_i，变量u_i定义为在第i天（第i-1天末至第i天末）连续复利收益率

利用u_i在最近m天的观察数据所计算出的日方差率的无偏估计为

其中为这些u_i的平均值

为了监视日方差率的变化，式（23-1）中的公式通常会有一些变动：

（1）u_i被定义为市场变量值在第i-1天末到第i天末的百分比变化。^[1]

（2）被假设为零。^[2]

（3）m-1被m代替。^[3]

以上3个变化对计算结果影响不大，但这些变化会使得方差公式简化成

其中u_i由式（23-2）给出。^[4]

加权权重的格式

在式（23-3）中，中的所有项都有相同的权重。我们的目标是估计当前波动率σ_n的水平，因此将较大的权重用在最近的数据更有意义。一种这样的模型为

变量α_i为第i天以前观察值所对应的权重，这些α都取正值。当选择这些变量时如果对i>j选择α_i<α_j，也就是对于较旧的数据我们将设定较小的权重。权重之和必须为1，即

对于式（23-4）可以做一推广。假定存在某一长期平均方差，并且应当给予该方差一定权重，这将导致以下形式的模型

其中V_L为长期方差率，γ为V_L所对应的权重。因为权重之和仍为1，我们有

这一模型就是最先由Engle提出的ARCH（m）模型。^[5]方差的估计值是基于长期平均方差以及m个观察值，观察数据越陈旧所对应的权重就越小。令ω=γV_L，我们可以将式（23-5）写为

在接下来的两节中我们将讨论两种观察波动率的重要方法，这两种方法均采用了式（23-4）及式（23-5）中的想法。

[1] 这与22.3节计算VaR时所定义的波动率一致。

[2] 如22.3节解释的那样，这种假设对于方差估计的影响不大，这是因为市场变量在一天内变化的期望值远远小于市场变量变化的标准差。

[3] 用m来代替m-1将波动率从无偏差估计变成了极大似然估计。本章后面的内容里将讨论极大似然估计。

[4] 注意，这一章中的变量u所起的作用与第22章中的Δx作用一样，它们均为市场变量在一天内的百分比变化。对于u来讲，其下标代表关于同一市场变量在不同天里的观察值；对于Δx来讲，其下标代表在同一天内不同变量的取值。这两章中σ下标的区别与此类似，在本章下标代表天数，在第22章里下标代表不同的市场变量。

[5] 见Robert Engle，“Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of UK Inflation，”Econometrica，50（1982），987-1008。