29.1　债券期权

债券期权（bond option）是指在将来某确定时刻以某一确定价格买入或卖出某个债券的权利。除了在场外市场进行交易外，债券期权常常隐含在一些债券内，其作用是在债券发行时达到吸引发行者或投资者的目的。

29.1.1　内含债券期权

具有内含期权债券的一个例子是可赎回债券（callable bond），这种债券含有允许发行债券的公司在将来某时刻以事先约定的价格买回债券的条款，因此这种债券的持有人向发行人卖出了一个看涨期权。该期权中的执行价格，即赎回价格（call price），是该债券发行人在赎回债券时必须支付给债券持有者的价格。可赎回债券通常在债券发行的最初几年内不能赎回（称为锁定区间（lock-out period）），此后的赎回价格通常是时间的递减函数。例如，在某个10年期可赎回债券发行的最初两年内，债券发行人没有赎回债券的权利，随后该债券发行人有权在第3年和第4年以110美元的价格、在第5年和第6年以107.50美元的价格、在第7年和第8年以106美元的价格、在第9年和第10年以103美元的价格将债券赎回。这个看涨期权的价值反映在债券的收益率报价之中。一般附有可赎回条款的债券比没有可赎回条款的债券的收益率要高。

具有内含期权的另一类债券是可退还债券（puttable bond），这种债券含有允许债券持有人在将来某一时间内以预先约定的价格提前将债券退还给债券发行人并收回现金的条款。债券持有人在买入债券本身的同时，也买入了债券的看跌期权。对于债券持有人而言，由于看跌期权增加了债券本身的价值，附有可退还条款的债券比没有这种条款的债券收益率要低。一个简单可退还债券的例子为10年期可退还债券，此债券的持有人有权在第5年年末要回本金（有时这类债券也被称为可撤销债券（retractable bond））。

贷款和储蓄产品有时也具有内含债券期权。例如，假定某金融机构的5年定期储蓄可以被提前提取而没有任何惩罚，那么它就包含了一个债券美式看跌期权（储蓄是一个投资者有权在任何时刻以其面值卖给金融机构的债券）。类似地，在贷款和有抵押贷款中可以提前付清的权利也是关于债券的看涨期权。

最后，银行或其他金融机构所提供的贷款许诺（loan commitment）可以看作关于债券的看跌期权。例如，某一银行给某个潜在借款人报出5年期的年利率为5%，此报价在随后的2个月内有效。在这种情况下，该客户事实上取得了在随后2个月内随时向金融机构按面值出售利率为5%的5年期债券的权利，当利率上涨时，客户将会行使期权。

29.1.2　欧式债券期权

许多场外交易的债券期权和一些债券内含期权都是欧式期权。在对于欧式债券期权定价的标准市场模型中通常所做的假设是债券的远期价格具有常数波动率σ_B，因此我们可以用28.6节中的布莱克模型来对这些期权定价。在式（28-28）和式（28-29）中，令σ_F等于σ_B，F₀等于远期债券价格F_B，则

其中

其中K为债券期权的执行价格，T为期权的期限。P（0，T）是对于期限T的无风险贴现因子。

如5.5节所述，F_B可以利用以下公式来计算

其中B₀为债券在0时刻的价格，I为在期权期限内债券所支付息票的贴现值。在以上公式中，即期债券价格与远期债券价格均为现金价格（cash price），而非报价（quoted price）。在6.1节中，我们曾解释过现金价格与报价之间的关系。

式（29-1）和式（29-2）中的执行价格K应是现金执行价格，因此在选择K的正确取值时，期权的具体条款阐述非常重要。如果一个合约将执行价格定义为当期权被行使时与债券交换的现金价格，那么K应该被设定为这一执行价格。但更常见的情形是执行价格为期权被行使时所对应的报价，这时K应等于执行价格加上在到期日时的应计利息。交易员将债券的报价称为洁净价（clean price），将现金价称为带息价格（dirty price）。

例29-1

考虑一个10月期的欧式看涨期权，标的资产是期限为9.75年、面值为1000美元的债券（当期权到期时，该债券的剩余期限为8年零11个月）。假设债券在当前的现金价格为960美元，执行价格为1000美元，10个月期的无风险利率为每年10%，债券上10个月期限的远期价格波动率为每年9%。债券券息率为每年10%（每半年支付一次）。债券在第3个月和第9个月将支付50美元的利息（这意味着当前应计利息为25美元，报价为935美元）。我们假设3个月期和9个月期的无风险利率分别为每年9.0%和9.5%。因此，所支付利息的贴现值为

即95.45美元。由式（29-3）可得出债券远期价格为

（a）如果执行价格是在期权行使时为了得到该债券所付的现金价格，那么式（29-1）中的参数为F_B=939.68，K=1000，P（0，T）=e^{－0.1×（10/12）}=0.9200，σ_B=0.09，T=10/12。看涨期权的价格为9.49美元。

（b）如果执行价格是在期权行使时为了得到该债券所付的报价，则因为期权的到期日是息票支付后的一个月，所以必须在K中加上一个月的累计利息。因此K等于

式（29-1）中其他参数不变（即F_B=939.68，P（0，T）=0.9200，σ_B=0.09，T=0.8333）。看涨期权价格为7.97美元。

图29-1展示了当我们向前展望时债券价格对数值的标准差变化形式。由于今天的债券价格没有不确定性，所以它的标准差为0。另外，当债券到期时，债券价格等于其面值，所以这时标准差也为0。但是，现在与债券到期日之间，标准差先是上升，然后再下降。

当对债券的欧式期权定价时，波动率σ_B应该被取成

对于一个特定的标的债券，增加期权期限时会发生什么呢？图29-2显示了将σ_B作为期权期限函数时的典型形状。一般来讲，当期权期限增大时，σ_B会随之减小。

图29-1　在将来时刻债券价格对数的标准差

图29-2　将债券固定时它的远期价格波动率σ_B与期权期限的变化关系

29.1.3　收益率波动率

对债券期权所报的波动率通常是收益率波动率而不是价格波动率。在市场上，人们通过第4章里引入的久期概念来将所报的收益率波动率转换成价格波动率。假设D是第4章里定义的期权标的债券在期权到期日的修正久期。债券远期价格F_B的变化ΔF_B与相应远期收益率y_F的变化Δy_F之间关系满足

即

波动率是对某一变量价值百分比变化的标准差的度量。以上方程说明，在布莱克模型中的远期价格波动率σ_B与相应的远期收益率波动率σ_y近似地满足以下关系式

其中y₀为y_F的初始值。当收益率波动率被用来对期权进行报价时，一个潜在的假设通常是我们会通过式（29-4）将该波动率转换为价格波动率，然后利用这个波动率和式（29-1）或式（29-2）来计算期权价格。假设某看涨期权的标的债券在期权到期时的修正久期为5年，远期收益率为8%，由交易商给出的远期收益率波动率报价为20%，这意味着对应于这一市场报价，期权的市场价格可由式（29-1）计算得出，公式中的变量σ_B等于

即每年8%。图29-2说明远期债券波动率与所考虑的期权有关。我们刚定义的远期收益率的波动率更像个常数，这也是交易员喜欢使用这个波动率的原因。

本书附带软件DerivaGem中的Bond_Options工作表可用于计算欧式债券期权的价格。在计算时，用户在定价模型中应选择Black European来作为定价模型。用户输入收益率波动率，软件按上面所述方式应用这一波动率，执行价格既可以选择现金价格也可以选择市场报价。

例29-2

考虑一个10年期、面值为100美元的债券上欧式看跌期权。债券票息率为8%，每半年支付一次，期权的期限为2.25年，期权的执行价格为115美元，远期收益率的波动率为20%，零息曲线为水平5%（连续复利）。DerivaGem显示债券的报价为122.82美元，当执行价格对应于市场报价时，期权价格为2.36美元。当执行价格为现金价格时，期权价格为1.74美元（手算见练习题29.16）。