28.4　计价单位的其他选择

我们现在给出几个关于应用等价鞅测度结果的例子。第一个例子说明这与我们一直用到现在的传统风险中性定价结果是一致的。其他的例子为第29章中关于债券期权、利率上限以及互换期权定价做准备。

28.4.1　货币市场账户作为计价单位

美元货币市场账户是一个证券，它在时间零的价值是1美元，并且在任何时刻都挣取瞬时无风险利率r。^[1]变量r可以是随机的。如果我们令g表示货币市场账户，那么它以r的速度增长，于是

g的漂移项是随机的，但它的波动率是零。由第28.3节的结论，我们知道在风险市场价格为零的世界里，f/g是鞅，这正是我们以前定义的传统风险中性世界。从式（28-15）可以得到

其中表示在传统风险中性世界里的期望。

在这个情况下，g₀=1，以及

于是式（28-17）变成了

或

其中是r在时间0和T之间的平均值。这个方程给出了一种对利率衍生产品定价的方法，即在传统风险中性世界里对短期利率r进行模拟，在每一个实验里我们可以计算收益，并用短期利率r在模拟样本路线上的平均值来进行贴现。

当我们假设短期利率r是常数时，式（28-19）被简化成了

这正是我们在以前章节中建立的风险中性定价关系。

28.4.2　零息债券价格作为计价单位

定义一个在时间T、收益为1美元的零息债券在时间t的价格为P（t，T），我们现在探讨当取g为P（t，T）时会意味着什么。我们用E_T表示在一个对P（t，T）为远期风险中性世界里的期望。由于g_T=P（T，T）=1和g₀=P（0，T），式（28-15）给出

注意式（28-20）与式（28-19）之间的区别。在式（28-19）里，贴现是取在期望算子的里面，而在式（28-20）里，贴现是由P（0，T）来表示，而且是取在期望算子的外面。当我们利用关于P（t，T）为远期风险中性的世界时，对一个仅在时间T有收益的证券定价时可以简化许多。

考虑任意变量θ。^[2]θ上的一个到期日为T的远期合约是一个在时间T收益为θ_T－K的合约，这里θ_T是θ在时间T的值，我们用f表示这个远期合约的价值。从式（28-20）我们有

θ的远期价格F是使得f₀等于零的K值。这样我们有

或

式（28-21）表明，在一个对于P（t，T）为远期风险中性的世界里任何变量（利率除外）的远期价格都等于它未来即期价格的期望值。注意远期价格与期货价格的区别，在第18.7节里我们曾证明了在一个传统风险世界里，一个变量的期货价格等于它在将来时间即期价格的期望。

式（28-20）表明我们可以这样对一个在时间T提供收益的证券定价：首先在一个对于在时间T到期的债券价格为风险中性的世界里计算收益的期望值，然后以在时间T到期的无风险利率进行贴现。式（28-21）说明在计算收益期望时，可以假定标的变量的期望值等于其远期价格。

28.4.3　零息债券作为计价单位时的利率

在我们的下一个结果里，我们定义R（t，T，T）为在时间t所观察到的介于T与T之间的远期利率，它的复利区间是T－T（比如，如果T－T=0.5，利率为半年复利一次；如果T－T=0.25，利率是按季度复合，等等）。对一个在时间T和T之间的零息债券，它在时间t所观察到的远期价格是

因为远期利率是相应债券的远期价格所隐含的利率，也就是说

于是

或

如果我们令

和g=P（t，T），那么等价鞅测度结果说明在一个关于P（t，T）为风险中性的世界里R（t，T，T^*）是个鞅。这意味着

其中表示在关于P（t，T^*）为风险中性世界里的期望。

变量R（0，T，T）是在时间0所观察的用于时间T和T之间的远期利率，而R（T，T，T）是时间T和T之间所实现的利率，因此式（28-22）表明在一个对期限为T^*的零息债券为风险中性的世界里，远期利率等于在将来时刻利率的期望。与式（28-20）一起，这个结果对我们在下一章中关于利率上限的讨论将会提供很大帮助。

28.4.4　年金因子作为计价单位

作为等价鞅测度结果的下一个应用，我们考虑一个从时间T开始的利率互换，它的付款时间是在T₁，T₂，…，T_N。定义T₀=T，假设这个互换的本金是1美元，在时间t（t≤T）的远期互换率（使得互换合同价值为零的定息方利率）为s（t）。互换合同对于支付固定利率的价值为

其中

假设我们用的是LIBOR利率贴现。当给最后一个互换日期的支付双方都加上本金时，互换合同的浮动利息方在合同开始时的价值等于它的本金（这是因为浮动利息方是LIBOR浮动利息债券，贴现用的也是LIBOR。这种处理方式正是我们在第7.7节里以债券的形式对互换定价所用的）。这说明了如果我们在时间T_N对浮息方加上1美元，那么它在时间T₀的值是1美元。时间T_N时的1美元在时间t的价值是P（t，T_N），而在时间T₀的1美元在时间t的价值是P（t，T₀）。因此，浮息方的价值在时间t为

令定息方和浮息方的价值相等，我们得到

或

令f等于P（t，T₀）－P（t，T_N），g等于A（t），利用等价鞅测度结果我们可以得到

其中E_A表示在关于A（t）为远期风险中性世界里的期望。因此，在一个关于A（t）为远期风险中性的世界里，未来互换率的期望值等于目前的互换率。

对于任何一个证券f，式（28-15）说明

这个结果与式（28-24）一起将为我们在下一章里推导欧式利率互换期权标准市场模型起关键作用。我们将会看到，这个结果也可以推广到以OIS贴现的情形。

[1] 货币市场账户是如下证券当Δt趋于零时的极限。在第一个长度为Δt的短时间区间上按初始Δt段利率投资。在时间Δt时，再以Δt时的利率投资在下一个Δt时间段上；在时间2Δt时，再按新的Δt段利率投资在下一个Δt时间段上，等等。其他货币中的货币市场账户与美元类似。

[2] 以后我们将会看到，关于利率的远期合约与关于其他变量的远期合约是不同的。远期利率是远期债券价格隐含的利率。