34.7　气候与保险衍生产品定价

气候与保险衍生产品的一个明显特点是产品的收益中没有系统风险（即在市场上给予补偿的风险），这说明由历史数据所得到的估计值也可以同样用在风险中性世界里。因此气候与保险衍生产品可以通过以下方式定价：

（1）利用历史数据估计收益的期望值；

（2）按无风险利率对收益的期望值贴现。

气候与保险衍生产品的另一个关键特征是标的不确定性随时间增长的方式。对于股票价格，不确定性的增长大约与时间的平方根成正比。股票价格在4年内的不确定性（以价格对数值的标准差来度量）大约是1年价格不确定性的2倍。对于商品价格，尽管有均值回归性质的作用，但是在4年内的不确定性（以价格对数值的标准差来度量）仍然比在1年内的不确定性高很多。对于气候，不确定性随时间的增长就很不明显。某个地点在4年后2月份的HDD与在同一地点1年后2月份的HDD不确定性会稍稍高一些。与此类似，对4年后开始一段时间里由于地震所造成损失的不确定性只是比与1年后开始类似一段时间里由于地震所造成损失的不确定性稍高一些。

现在考虑对累积HDD上期权的定价问题。我们可以搜集50年历史数据，并由此来估计HDD的概率分布。这些数据可以用于吻合对数正态，或者其他的概率分布，然后可以计算收益的期望值。将其按无风险利率贴现即可得出期权的价值。通过分析历史数据的趋向与考虑气象学家的预测，我们可以对这里的分析加以改进。

例34-4

考虑以芝加哥奥黑尔机场气象站的累积HDD做标的资产、到期日为2016年2月、执行价格为700的看涨期权，每一度/天支付1万美元。假设从50年历史数据估计的HDD服从对数正态分布，均值为710，HDD自然对数的标准差等于0.07。由式（15A-1），收益期望值为

其中

即250900美元。假设无风险利率为3%，所考虑期权的定价时间是2015年2月份（离到期日还有1年）。期权的价值是

即243400美元。

为了反映温度趋向，我们可以调整HDD的概率分布期望值。假设通过线性回归发现，2月份的HDD以每年0.5的速度下降（也许是因为全球变暖的结果），因此对2016年2月份的HDD估计只有697。^[1]如果收益自然对数的标准差保持不变，那么收益期望值将降至180400美元，期权的价值降为175100美元。

最后，假设气候专家预测2013年的2月份很可能比较暖和，这时应当降低对HDD期望值的估计，从而期权的价值会降低。

在保险方面，Litzenberger等人证明了CAT债券的收益与股票市场没有明显的相关性（这与我们想象的是一样的）。^[2]这也印证了气候衍生品中没有系统风险，而且定价时可以利用保险公司所收集的精算数据来进行。

CAT债券一般会对高于通常水平的利率赋予很高的概率，对特大损失赋予低概率。投资人为什么会对这种证券感兴趣呢？答案是这种证券的收益期望（考虑到可能的损失后）比无风险投资的收益要高。然而在一个很大的组合里CAT债券的风险（至少在理论上）可以完全得以分散，因此CAT债券具有改进风险-收益均衡关系的可能性。

[1] 在以前的50年内每年平均值都降低0.5度（平均是710度）。这说明在以前50年刚开始时，平均值是722.5度，在50年末，平均温度是697.5度。下一年的合理估计是697度。

[2] R.H.Litzenberger，D.R.Beaglehole and C.E.Reynolds，“Assessing Catastrophe reinsurance-Linked Securities as a New Asset Class，”Journal of Portfolio Management，Winter 1996：76-86。