33.4　更复杂的互换

我们下面将考虑“假设远期利率将会实现”的处理方式不再适用的互换例子。在每种情形下，我们都需要对远期利率进行调整，然后再假定这个利率将会被实现。本节的结果是建立在第30章里结论的基础上。

33.4.1　LIBOR后置互换

标准利率互换的特点是将前一个付息日期所观察的浮动利率在下一个付息日期付出。市场上有时也交易一种叫作LIBOR后置互换（LIBOR-in-array swap）的产品，其特点是在一个支付日所付的浮动利率由在这个支付日所观察到的利率来确定的。

假设一个互换的重置日期是t_i，i=0，1，…，n，以及τ_i=t_i+1－t_i。定义R_i为区间t_i与t_i+1之间的LIBOR利率，F_i为R_i的远期利率，σ_i为这个远期利率的波动率（σ_i的值通常是由上限单元价格隐含而得）。在一个LIBOR后置互换中，浮动利率方在时间t_i的支付是基于R_i，而不是通常的R_i－1。如在30.1节中所述，当对支付额定价时，有必要对远期利率做一个曲率调整。定价时应当基于假设所付的浮动利率为

而不是F_i。

例33-2

在一个LIBOR后置互换中，本金为1亿美元。按年收取5%的固定利率并支付LIBOR，在第1年、第2年、第3年、第4年和第5年的年底交换支付。用于贴现的收益率曲线呈水平状，利率为每年5%，按年复利。所有的上限单元波动率均为每年22%。

每个浮动利率方支付的远期利率均为5%。假如这是个标准互换不是后置互换，它的价值（忽略计天约定）正好为零。由于这是个后置互换，我们必须进行曲率调整。在式（33-1）中，对所有的i，F_i=0.05，σ_i=0.22和τ_i=1。曲率调整将在所有时间t_i的利率由0.05变成为

因此在第1年、第2年、第3年、第4年和第5年底支付的浮动利率应当分别被假设成5.0115%、5.0230%、5.0345%、5.0460%和5.0575%。第1个交换日期的净交换值等价于1亿美元的0.0115%或11500美元的现金外流。我们可以类似地计算其他交换的等价净现金流。互换的价格为

或-144514美元。

33.4.2　CMS与CMT互换

固定期限互换（constant maturity swap，CMS）是一种浮动利率等于某一个固定期限互换利率的利率互换。例如，某CMS互换的浮动利率方可能是每6个月支付一次，并等于5年的互换利率。通常会有一个滞后时间而使得在一个特定支付日期的支付等于在前一个支付日期所观察的互换利率。假设利率在时间t₀，t₁，t₂，…被设定，而分别在时间t₁，t₂，t₃，…支付，L为名义本金。在时间t_i+1的浮动利率支付为

其中，τ_i=t_i+1－t_i，S_i为在时间t_i的互换利率。

假设y_i是互换利率S_i的远期值。在对时间t_i+1的支付定价时，我们发现可以对远期互换利率做一个曲率调整，即把实际互换利率假设成

而不是y_i。在这个方程中，σ_y，i是远期互换利率的波动率，F_i是目前在时间t_i和t_i+1之间的远期利率，σ_F，i是这个远期利率的波动率，ρ_i是远期互换利率与远期利率之间的相关系数。G_i（x）是债券作为其收益率x的函数在时间t_i的价格。债券的券息为y_i，并具有与计算CMS利率所用互换同样的有效期与支付频率。和是G_i关于x的一阶和二阶导数。波动率σ_y，i可以由互换期权隐含而得出，波动率σ_F，i可以由上限单元价格隐含而得出，而相关系数ρ_i可以由历史数据估计。

式（33-2）涉及曲率和时间调整，其中的调节量为

与我们在30.1节里的例30-2中计算的调整项类似，它是建立在互换利息S_i只发生在单个时间t_i，而不是发生在一个年金付款时间系列的假设之上。另外一项

与我们在30.2节里所计算的调整项类似，它考虑了由S_i所计算的支付是发生在t_i+1而不是在t_i的事实。

例33-3

在一个6年期CMS互换中，收取的是5年互换利率，而支付的是5%的固定利率。名义本金为1亿美元。每半年支付一次（5年互换与CMS互换本身都是这样）。支付日期的交换数量由上一个支付日期的互换利率确定。期限结构呈水平状，利率为每年5%，按半年复利。所有5年互换期权均有15%的隐含波动率，而所有6个月期限的上限单元隐含波动率均为20%。每个上限率与每个互换利率之间的相关系数都假设是0.7。

在这种情形下，对所有的i，y_i=0.05，σ_y，i=0.15，τ_i=0.5，F_i=0.05，σ_F，i=0.20和ρ_i=0.7，并且

于是=－437.603和=2261.23。式（33-2）给出总的曲率/时间调整量为0.0001197t_i，或每年1.197个基点，直到互换利率被观察到为止。例如，为了对CMS互换定价，在4年后的5年互换利率应当被假设成5.0479%，而不是5%，在4.5年的时间点上所收入的净现金流应当被假设成0.5×0.000479×100000000=23940美元。我们可以类似地计算其他的净现金流。取现值后，我们可以得到互换的价值为159811美元。

固定期限国债互换（constant maturity Treasury swap，CMT）与CMS类似，只是这里的浮动利率为具有特定期限的政府债券收益。对CMT互换的分析与CMS互换基本上是一样的，这时只要将S_i定义为具有特定期限长度的政府债券面值收益即可。

33.4.3　跨货币互换

跨货币互换（differential swap）有时也简称为Diff互换（diff swap），是一种利率互换。互换的浮动利率是在一种货币下观察到，但却用在另一种货币的本金上。假设我们在货币Y下观察到介于t_i和t_i+1之间的LIBOR利率，并在时间t_i+1时用在货币X下的本金上。定义V_i为货币Y下介于t_i和t_i+1之间的远期利率，W_i为一个期限为t_i+1的合约中的远期汇率（表示为一个单位的货币X所值的货币Y数量）。如果货币Y下的LIBOR利率用在货币Y下的本金上，在计算时间t_i+1的现金流时，我们可以假设在时间t_i的LIBOR利率等于V_i。从第30.3节中的分析我们知道，当将其用于货币X下的本金时，我们需要做一个Quanto调整：我们可以在LIBOR利率等于

的假设下对现金流定价，其中σ_W，i是W_i的波动率，σ_V，i是V_i的波动率，ρ_i是V_i与W_i之间的相关系数。

例33-4

在一个3年期按年支付的Diff互换合约中，收取的是12月的美元LIBOR，支付的是12月英镑LIBOR，而且两种利率都是用在1000万英镑的本金上。所用的贴现率为LIBOR/互换零息利率。假定对于所有期限的利率均为5%（半年复利）。从市场价格估计出的美国所有1年期远期利率的波动率均为20%，所有期限的远期美元/英镑汇率（每英镑的美元数）的波动率均为12%，而且两者之间的相关系数为0.4。

在这种情形下，V_i=0.05，ρ_i=0.4，σ_W，i=0.12，σ_V，i=0.2。因此，对依赖于在时间t_i所观察的1年期美元利率的浮动现金流应当是基于假设利率为

这意味着为了定价的缘故，我们应当假设在时间1年、2年和3年时互换的净现金流为0、4800和9600英镑。因此，互换的价值为

或12647英镑。