31.8　校正

到目前为止我们都是假定参数a和σ是已知的。现在我们讨论如何确定这些参数，确定参数的过程通常被称为对模型的校正。

波动率参数是由在市场上交易活跃的期权市场数据来确定的（比如像表29-1和表29-2中经纪人报出的有关上限和互换期权波动率的数据）。这些市场上交易活跃的产品被称为校正产品（calibrating instrument）。校正过程的第一步是选取一个衡量拟合质量（goodness-of-fit）的测度。假定有n个校正产品，一种流行的测度是

其中U_i为第i个校正产品的市场价格，V_i为由模型给出的这个产品价格，模型校正的目标是选取参数来使得以上测度达到最小。

波动率参数的数量不应当多于校正产品的数量。如果a和σ为常数，那么我们只有两个波动率参数。我们可以将模型推广到a或σ或两个参数均为时间函数的情形，此时可以利用阶梯函数。假设a为常数，而σ为时间的函数。我们可以选取时间t₁，t₂，…，t_n，并假设对t≤t₁，σ（t）=σ₀；对t_i≤t≤t_i+1，σ（t）=σ_i（1≤i≤n－1），以及对t>t_n，σ（t）=σ_n。这样，我们共有n+2个波动率参数：a，σ₀，σ₁，…，σ_n。

对拟合测度求最小化可以通过Levenberg-Marquardt程序来完成。^[1]当a或σ或两个参数均为时间的函数时，在拟合测度上常常需要加上一个惩罚函数（penalty function）以使得这些函数具备良好的性质。在刚才的例子中，σ为阶梯函数，我们可以将目标函数取成

第2项对在两步之间σ值较大的变化提供了惩罚，第3项对σ的高曲率提供了惩罚。通过试验可以选取适当的w_1，i和w_2，i值，以便使得σ具有一定的光滑程度。

用于校正模型的产品应当与被定价的产品相似。例如，假设要对一个百慕大式互换期权定价：这个期权将延续10年，并在第5年与第9年之间的任何支付日上都可以被行使，从而进入一个10年后（从现在起）到期的互换。这时，最相关的校正产品为5×5，6×4，7×3，8×2和9×1欧式互换期权（n×m欧式期权是指在n年期权到期后进入m年互换的期权）。

将a或σ或两个参数都设成时间函数的优点是能够使模型更精确地与在市场上交易活跃的产品价格吻合，其缺点是波动率结构会因此变得不稳定。模型给出的将来波动率期限结构可能与今天市场上存在的波动率有很大差异。^[2]

一种与此有所不同的校正方式是利用所有可用的校正产品来计算出“整体最优吻合”（global-best-fit）参数a和σ。将参数a固定为最优吻合值时，我们可以采用与布莱克-斯科尔斯-默顿同样的方法来使用模型，这时在期权价格和参数σ之间存在一一对应关系。我们可以利用模型将表29-1和表29-2转换为隐含波动率σ的表格，^[3]这些表格可以帮助我们选取最适合产品定价的参数σ。

[1] 关于这个程序的描述，见W.H.Press，B.P.Flannery，S.A.Teukolsky，and W.T.Vetterling，Numerical Recipes in C：The Art of Scientific Computing，Cambridge University Press，1988。

[2] 关于当a和σ为时间函数时对模型的实现，见网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNote里的Technical Note 16。

[3] 注意，在一个期限结构模型下的隐含参数σ与表29-1和表29-2中通过布莱克模型所计算出的波动率是不一样的。计算隐含参数σ的过程如下：首先利用布莱克模型将布莱克波动率转换成价格，然后用迭代的方式计算由价格所隐含的期限结构模型中的参数σ。