31.4　债券期权

在我们已经引进的模型中，有的模型可以解析地计算零息债券的欧式期权价格。对于Vasicek模型、Ho-Lee模型以及Hull-White模型，在时间s到期的零息债券上，期限为T的欧式看涨期权在时间0的价值为

其中L为债券本金，K为执行价格，并且

相应的欧式看跌期权价格为

在Technical Notes31中证明了对于Vasicek和Hull-White模型

对于Ho-Lee模型

式（31-20）与29.1节中讨论的对债券定价的布莱克模型是基本一致的，远期债券价格的波动率为。如29.2节所示，我们可以将利率上限或下限表示为零息债券期权的组合，因此我们可以利用以上给出的方程以解析的形式来表达上限/下限的价格。

对于在31.2节中所讲过的Cox，Ingersoll和Ross模型，同样也存在计算零息债券期权的解析公式，但这些公式涉及非中心Chi-平方分布的积分。

带券息的债券期权

在单因子模型下，当r下降时，所有零息债券的价格都会上涨；而当r上升时，所有零息债券的价格都会下降。因此，在单因子模型下，我们可以将关于带息债券的欧式期权表示成一些关于零息债券欧式期权的组合。具体程序如下：

（1）计算r的关键值r^*，该值保证在期权到期时，相应的带息债券的价格等于债券期权执行价格；

（2）计算零息债券期权在T时刻的价格，这些零息债券构成了带息债券，其中每个期权的执行价格都等于在时间T，当r=r^*时的零息债券价格；

（3）令带息债券的期权价格等于在第2步所计算出的所有零息债券欧式期权的价格总和。

这样，我们可以在Vasicek模型，Cox、Ingersoll和Ross模型，Ho-Lee模型以及Hull-White模型下计算关于带券息的债券期权价格。如业界事例29-2所述，一个欧式互换期权可以被看成是带券息债券上的欧式期权，因此，欧式互换期权也可以由以上描述的过程来定价。在网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes里的Technical Note 15中对计算过程有更为详细的介绍。