练习题

30.1　解释你如何去对一个在5年后付出100R的衍生产品定价，其中R是在4年后所观察到的1年期利率（按年复利）。当支付时间在第4年时，会有什么区别？当支付时间在第6年时，会有什么区别？

30.2　解释在下面情况下，有没有必要做任何曲率或时间调整？

（a）我们要定价的期权每个季度支付一次，数量等于5年期互换利率超出3个月LIBOR利率的部分（假如超出的话），本金为100美元，收益发生在利率被观察后90天。

（b）我们要定价的期权每季度支付一次，数量等于3个月的LIBOR利率减去3个月的短期国库券利率，收益发生在利率被观察后90天。

30.3　假设29.2节中例29-3里的收益发生在1年后（即利率被观察到的时候），而不是15个月后。布莱克模型中所需要的参数会有什么区别？

30.4　收益率曲线呈水平形状，利率为每年10%，按年复利，计算这样一个产品的价值：5年后收取2年互换利率（按年复利），而付出10%的固定利率，两种利率的名义本金数量均为100美元。假设互换利率的波动率为每年20%，解释产品的价格为什么不等于0。

30.5　解释在下列情况下，练习题30.4会有何区别。互换利率被观察的时间为5年，但收益却发生在（a）6年后，（b）7年后。假设所有远期利率的波动率均为20%，介于5~7年之间的互换利率与介于5~6年之间的远期利率的相关系数为0.8，并与5~7年之间远期利率的相关系数为0.95。

30.6　一个债券在时间T的价格作为其收益率的函数为G（y_T）。假设在一个对时间T到期的债券为远期风险中性的世界里，远期债券收益率y服从几何布朗运动。假定远期债券收益率的增长率为α，波动率为σ_y。

（a）利用伊藤引理，计算由α、σ_y、y和G（y）表示的远期债券价格的过程。

（b）在所考虑的世界里，远期债券价格应当为一个鞅。利用这个结论来推导α的表达式。

（c）证明α表达式的一阶逼近与式（30-1）一致。

30.7　变量S是一个提供中间收益率为q并以货币A来度量的投资资产。在现实世界里，它服从以下过程

如有必要，可以定义新的变量。对以下情形，给出S所服从的过程，以及相应的风险市场价格。

（a）在货币A下的传统风险中性世界。

（b）在货币B下的传统风险中性世界。

（c）对货币A下，对时间T到期的零息债券为远期风险中性的世界。

（d）对货币B下，对时间T到期的零息债券为远期风险中性的世界。

30.8　一个看涨期权在时间T提供的收益为max（S_T－K，0）日元，其中S_T为时间T以美元计价的黄金价格，K为执行价格。假设黄金存储费用为0，并定义其他必要的变量，计算合约的价值。

30.9　假设一个加拿大的股票指数的当前水平为400，而目前1加元值0.70美元，加拿大和美国的无风险利率分别为6%和4%，股指的股息收益率为3%。定义Q为每单位美元所兑换的加元数量，S为股指值，S的波动率为20%，Q的波动率为6%，S和Q之间的相关系数为0.4。利用DerivaGem计算以下关于这个指数的2年期美式看涨期权的价值。

（a）以加元为度量的指数超出400的数量。

（b）以美元为度量的指数超出400的数量。