30.1　曲率调整

我们首先考虑对这样一种产品定价：其收益依赖于在收益发生时间所观察到的债券收益率。

通常一个变量的远期值是通过一个在时间T收益为S_T－K的远期合约来计算的，它是对应于合约价值为0的价格K。我们在28.4节中曾指出，远期利率与远期债券收益率的定义有所不同：远期利率是由远期零息债券所隐含的利率。一般来讲，远期债券收益率是远期债券价格所隐含的利率。

假定B_T是在时间T时的一个债券价格，y_T为其收益率。B_T与y_T之间（债券定价）的关系式为

定义F₀为时间T到期的合约在时间0的远期债券价格，y₀为时间0的远期债券收益率。由定义得出

函数G为非线性函数。这意味着，当将来债券价格的期望值等于远期债券价格时（于是我们在一个对于时间T到期的零息债券为风险中性世界里），将来的债券收益率期望值并不等于远期债券收益率。

这一点可通过图30-1来说明。图30-1展示了在时间T债券价格与债券收益率的关系。为简单起见，我们假定只有三种可能性的债券价格B₁，B₂和B₃，这些价格在一个关于P（t，T）为风险中性世界里发生的可能是相同的。假如债券价格之间的间隔是相同的，即B₂－B₁=B₃－B₂。债券的远期价格是债券的期望值B₂。由债券价格，我们可以计算出3个具有相同可能性的收益率：y₁，y₂和y₃。这些收益率之间的间隔并不相同。变量y₂为远期债券的收益率，这是因为它对应于远期债券价格。债券收益率的期望值为y₁，y₂和y₃的平均值，显然该平均值大于y₂。

图30-1　在时间T时债券价格与债券收益率的关系

现在考虑一个收益依赖于时间T的债券收益率的衍生产品。由式（28-20）可知，产品可以通过以下过程来定价（a）在对于时间T到期的零息债券为远期风险中性的世界里计算收益的期望值，（b）以当前期限为T的无风险利率进行贴现。我们知道，在所考虑的世界里，债券价格期望值等于远期价格。因此，我们需要计算当债券价格期望值等于远期价格时，债券收益率的期望值。在本章附录里我们证明了所需要的债券收益率期望值可以由以下近似式表示

其中G′和G″表示函数G的一阶和二阶偏导数，E_T表示在一个对于P（t，T）为远期风险中性世界里的期望值，σ_y为远期收益率的波动率。由此可见，当我们假设债券收益率的期望为

而不是y₀时，我们可以用当前期限为T的无风险利率来对收益期望值进行贴现。债券收益率期望值与远期收益率之间的差为

以上表达式被称为曲率调整（convexity adjustment），它对应于图30-1中y₂与收益率期望值的差（因为G′（y₀）<0，G″（y₀）>0，因此曲率调整为正）。

30.1.1　应用1：利率

作为式（30-1）的第一个应用，我们考虑以下产品：它在时间T提供本金L按时间T与T之间利率所产生的利息（当我们在第33章讨论LIBOR后置互换时会用到这个例子）。注意，在时间T与时间T之间的利息一般是在T^*支付，但在这里我们假设利息是在时间T支付。

在时间T，我们考虑产品的现金流为LR_Tτ，其中τ=T－T，R_T为T与T之间的零息利率（按时间段τ复利）。^[1]变量R_T可以被看成是在时间T^*到期的零息债券在时刻T的收益率，这个债券价格与其收益率之间的关系式为

由式（30-1）有

或

其中R₀是应用于T与T^*之间的远期利率，σ_R是远期利率的波动率。因此，这个产品的价值为

例30-1

考虑一个衍生产品，它在3年后提供的收益等于那时的1年期零息利率（按年复利）乘上1000美元。假设所有期限的零息利率均为每年10%，按年复利。而相应的从第3~4年之间的远期利率的波动率为20%。这时R₀=0.10，σ_R=0.20，T=3，τ=1和P（0，3）=1/1.10³=0.7513。衍生产品价值为

或75.95美元（在没有任何曲率调整的情况下，产品价值为75.13美元）。

30.1.2　应用2：互换利率

我们接下来考虑另一衍生产品，它在时间T提供的收益等于在那时所观察到的互换利率。当使用LIBOR利率贴现时，互换利率等于平值收益率（par yield）。为了计算曲率调整，我们可以假设在时间T时的N年互换利率等于在那时的N年债券的收益率，债券的票息等于今天的远期互换利率，这样我们就可以利用式（30-1）。

例30-2

考虑如下产品，它在3年后提供的收益等于那时的3年期互换利率乘以100美元。假设互换的支付是按年进行，对应所有期限的零息利率均为12%，按年复利。3年后的3年期远期互换波动率为22%（由互换期权隐含率得出），而用来贴现的是LIBOR/互换零息利率曲线。我们将互换利率近似为一个票息为12%的债券收益率，于是相应的函数G（y）为

在这种情况下，远期收益率y₀为0.12，于是G′（y₀）=－2.4018，G″（y₀）=8.2546。由式（29-1）得出

因此，在对这个产品定价时，我们应当假设远期互换利率为0.1236（12.36%），而不是0.12%。这个产品的价值为

即8.80美元（在没有任何曲率调整的情况下，产品价值为8.54美元）。

[1] 与通常一样，为简单起见，我们假设计量天数惯例为“实际天数/实际天数”（actual/actual）。