练习题

29.1　一家企业签订了一项上限合约，合约将3个月期的LIBOR利率上限定为每年10%，本金为2000万美元。在重置日3个月的LIBOR利率为每年12%。根据利率上限协议，支付的数目是多少？何时付款？

29.2　解释为什么一个互换期权可以被看做是一个债券期权。

29.3　采用布莱克模型来对一个期限为1年、标的资产为10年期债券的欧式看跌期权定价。假定债券当前价格为125美元，执行价格为110美元，1年期利率为每年10%，债券远期价格的波动率为每年8%，期权期限内所支付票息的贴现值为10美元。

29.4　仔细解释你如何利用（a）即期波动率，（b）单一波动率来对一个5年期的上限定价。

29.5　计算以下期权的价格：在15个月时将3个月期的利率上限定为13%（按季度复利），本金为1000美元。对应这段时间的远期利率为12%（按季度复利），18个月期限的无风险利率为每年11.5%（连续复利），远期利率的波动率为每年12%。

29.6　某家银行采用布莱克模型来对欧式债券期权定价。假定银行采用了5年期限、标的资产为10年期的债券期权隐含波动率来对这个债券上9年期的期权定价。你所得到的价格太高还是太低？解释你的答案。

29.7　采用布莱克模型来计算具有4年期限的欧式看涨期权价格，标的资产是从现在起5年后到期的债券。5年期债券的现金价格为105美元，与5年期债券具有同样票息率的4年期债券的现金价格为102美元，期权执行价格为100美元，4年期无风险利率为每年10%（连续复利），4年后债券价格的波动率为每年2%。

29.8　看跌期权的期限为5年，标的资产为在10年后到期的债券，债券收益率波动率为22%，如何对这一期权进行定价？假定在基于今天的利率下，债券在期权满期时的久期为4.2年，债券的远期收益率为7%。

29.9　如果利率上限与利率下限执行价格相同，什么样的金融产品等价于一个5年期零费用利率双限？这里的共同执行价格等于什么？

29.10　推导关于欧式债券期权的看跌-看涨期权平价关系式。

29.11　推导关于欧式互换期权的看跌-看涨期权平价关系式。

29.12　说明当上限隐含的布莱克（单一）波动率不等于利率下限隐含的波动率时，会有套利机会。在由市场经纪人给出的表29-1中的报价里存在套利机会吗？

29.13　当债券价格服从对数正态时，债券的收益率会取负值吗？解释你的答案。

29.14　以下欧式互换期权的价值为多少？这个期权给持有人在4年后有权进入一个3年期的利率互换，在互换中支付的固定利率为5%，同时收入LIBOR，互换本金为1000万美元，互换每年付款一次。假设收益率曲线呈水平状，为每年5%（连续复利），互换率的波动率为20%。将你的答案同DerivaGem给出的结果进行比较。再假设所有互换率均为5%，所有OIS利率均为4.7%。利用DerivaGem计算LIBOR零息曲线与互换期权价值。

29.15　假设一个零息债券的收益率R服从以下过程

其中μ和σ均为R和t的函数，dz为维纳过程。利用伊藤引理证明在接近到期日时，零息债券价格的波动率会下降到0。

29.16　通过手算来验证例29-2中的期权价格。

29.17　假定1年、2年、3年、4年、5年期的LIBOR对定息每半年支付的互换率分别为6%、6.4%、6.7%、6.9%和7%。面值为100美元、每半年支付一次、上限利率为8%的5年期限利率上限价格为3美元。利用DerivaGem软件来确定

（a）以LIBOR贴现时，5年期上限与下限的单一波动率。

（b）以LIBOR贴现时，上限利率为8%的5年期零费用利率双限中的下限利率。

（c）以OIS贴现时，（a）和（b）的答案又是什么？假设OIS互换利率比LIBOR互换利率低100个基点。

29.18　证明V₁+f=V₂，其中V₁为介于时间T₁与T₂之间付出固定利率s_K并同时收入LIBOR的互换期权的价值，f为介于T₁与T₂之间收入固定利率s_K并同时付出LIBOR的远期利率互换的价值，V₂为介于T₁与T₂之间收入固定利率s_K的互换期权的价格。并由以上公式来证明当s_K等于当前远期互换利率时，V₁=V₂。

29.19　假定零息利率如练习题29.17所示。利用DerivaGem来决定以下期权的价格：期权持有人在1年后有权进入一个5年期的利率互换，在互换中支付的固定利率为6%，同时收入LIBOR，互换本金为1亿美元，互换付款日为每半年一次，互换利率的波动率为21%。用LIBOR贴现。

29.20　描述你将如何（a）由上限的即期波动率来计算上限的单一波动率，和（b）由上限的单一波动率来计算上限的即期波动率。