练习题

28.1　一个不是投资资产价格的变量的风险市场价格是如何定义的？

28.2　假设黄金价格的风险市场价格是零。如果储藏费是每年1%，无风险利率是每年6%，那么金价的增长率期望是多少？假设黄金不提供收入。

28.3　考虑两个依赖于同一市场变量的证券，它们的收益率期望分别是8%和12%。第一个证券的波动率是15%，瞬时无风险利率是4%。第二个证券的波动率是多少？

28.4　一个原油公司成立的唯一目的是在德克萨斯州内的一个小区域里寻找原油。公司的价值主要依赖于两个随机变量：原油价格与原油储备量。讨论第二个变量的风险市场价格应该是正是负，还是零。

28.5　一个衍生产品价格与两个不分红的可交易证券价格有关。通过构造由衍生产品以及两个可交易证券的无风险组合，推导衍生产品价格所满足的微分方程。

28.6　假设利率x服从以下过程

这里a，x₀和c是正常数。我们进一步假设x的风险市场价格是λ，在传统风险中性世界里，x所服从的过程是什么？

28.7　当证券f以q的速度提供收益时，证明式（28-9）变成了μ+q－r=λσ（提示：将从f得到的收入再投资于f中，这样可以构造一个新的不提供收入的证券f^*。）

28.8　证明当f和g分别以q_f和q_g的速度提供收益时，式（28-15）变为

（提示：将从f得到的收入再投资于f，从g得到的收入再投资于g，这样我们可以构造新的不提供收入的证券f和g。）

28.9　“一个利率将来值在风险中性世界里的期望大于它在现实世界里的期望值。”这个结论对以下变量的风险市场价格有什么影响？（a）某种利率；（b）某个债券的价格。你认为这个结论有可能成立吗？给出理由。

28.10　变量S是一个以货币A为计量的投资资产，它以q的速度提供收益。在现实世界里，它服从过程

可以定义必要的变量，给出在以下情况下S的过程，以及相应的风险市场价格。

（a）在一个对货币A是传统风险中性的世界里。

（b）在一个对货币B是传统风险中性的世界里。

（c）在一个对货币A里在时间T到期的零息债券为远期风险中性的世界里。

（d）在一个对货币B里在时间T到期的零息债券为远期风险中性的世界里。

28.11　解释远期利率的定义与其他变量的远期价值之间的区别，这些变量可以是股票价格、商品价格、货币兑换率。

28.12　证明在以下假设下，28.5节中的结论

和

其中dz_i是互不相关的，当λ_i=σ_g，i时，f/g是个鞅（提示：首先利用式（14A-11）得出lnf和lng的过程）。

28.13　证明当w=h/g，而h和g都依赖于n个维纳过程时，w波动率的第i个成分是h的第i个成分减去g的第i个成分（提示：首先利用式（14A-11）得出lng和lnh的过程）。

28.14　“如果X是一个随机变量的条件期望，那么X是个鞅。”解释这个结论的意思。