小结

研究人员已经提出了一些能够与现实世界所观察到的波动率微笑相吻合的模型。由常方差弹性模型所得出的波动率微笑与我们在现实中观察到的股票期权波动率微笑较为相似；跳跃-扩散模型所得出的波动率微笑与我们观察到的货币期权波动率微笑较为相似；方差-Gamma模型和随机波动率模型更加灵活，这些模型既可以产生我们观察到的货币期权波动率微笑，也可以产生股票期权的波动率微笑。蕴含波动率函数（IVF）模型比此更加灵活，该模型的设计是用来与欧式期权市场价格的任意形式达到完全匹配。

对依赖路径的期权定价的自然方法是蒙特卡罗模拟法。蒙特卡罗法的缺点是计算速度缓慢，而且难以用于对美式衍生产品的定价。幸运的是，树形结构可以用来对许多类型的依赖路径期权产品定价，其做法是在树形的每一节点上计算一些具有代表意义的数值，并在树形结构中反推计算时，对于每一个路径值计算出相应的衍生产品价格。

我们可以将二叉树进行推广来用于对可转换债券定价。对应于公司违约的情形，我们要在树形结构上引入额外一个分叉。在倒退计算过程中需要考虑债券持有者是否将债券进行转换，以及发行方是否会将债券赎回。

树形结构可用于对多种形式的障碍期权定价。但当树形结构的步数增加时，数值解收敛于精确解的速度比较缓慢。一种改善收敛速度的方法是改变树形的几何结构以保证树形结构的节点落在障碍边界上。另外一种方法是由于所假定的障碍值与期权的障碍值不同，我们可以通过插值的方式来对期权定价。第三种方法是在接近障碍值时，对标的资产的变化值提供更为细致的网格。

对于与两个相关变量有关的期权进行定价时，第1种做法是将相关变量转换为相互无关的变量，然后对每一个经过转换的变量建立树形结构，再产生一个三维树形。在树形结构的每一个节点上，我们通过一个反变换可以求出标的资产的价格。第2种做法是将树上的节点位置做出安排以反映相关性条件。第3种做法是建立没有任何相关性的树形结构，然后再对概率进行调整来反映相关性条件。

蒙特卡罗法对于美式期权的应用并不是十分自然，但我们可以通过两种做法来使得能够将蒙特卡罗法用于对美式期权定价。第一种做法采用最小二乘法将继续持有期权的价值（即不行使期权）与某些有关变量联系起来；第二种做法将提前行使期权的边界进行参数化，参数化的过程是从树形结构的末端开始倒退进行计算。在每一步，行使期权的边界是以迭代的形式计算得出的。