27.4　可转换债券

我们现在将讨论如何修改第21章中提出的数值方法来处理一些特殊定价问题，我们首先考虑可转换债券（convertible bond）定价问题。

可转换债券是由公司发行的债券，债券持有者在将来某些时刻有权将债券转换成公司的股票，转换率（conversion ratio）是一个单位债券可以转换的股票数量（该比率可能是时间的函数）。这种债券几乎总是可被赎回（callable）的，即债券发行者有权按预先指定的价格在某些时间将债券赎回。在债券被赎回时，债券持有者总是有权将债券转换为股票。因此这种可被赎回的作用是债券发行方可以强迫债券持有方提前将债券转换的一种方式。有时债券发行方的可赎回权利只有当股票价格在一定水平之上时才会生效。

在对可转换债券定价时，信用风险起着非常重要的作用。忽略信用风险时将会高估券息和本金的价值，计算出的债券价格会不准确。Ingersoll提出了用一种类似于在24.6节中所讨论的默顿（1974）模型来对可转换债券定价的方法。^[1]在模型中，Ingersoll假定债券发行方的总资产价值服从几何布朗运动，并将公司股权、可转换债券以及其他与资产价值相关的债权作为资产上的待定权益。在模型中假设只有当资产价值超出负债价值时，债权拥有者才能得到全部付款，因此以这种方式将信用风险考虑在内。

在实际中一个被广泛采用的简单模型是直接模拟债券发行方的股票价格。在这一模型中，假设股票价格服从几何布朗运动，并且在每个小的时间区间Δt内，公司有λΔt的“概率”会违约。当公司违约时股价会变为0，但债券会有一定的回收率。参数λ为在24.2节中所讨论过的风险中性违约密度。

股票价格服从的过程可以通过修改通常所用的二叉树来表达，在每个节点上我们有：

（1）在每段时间Δt后，价格按比率u上涨的概率为p_u；

（2）在每段时间Δt后，价格按比率d下降的概率为p_d；

（3）在每段时间Δt后，公司违约（即股票价格变为0）的“概率”为λΔt。更准确地讲，这一违约概率为1－e^－λΔt。

以下参数保证了树形价格变化的前两阶矩与股票价格分布一致

其中a=e^{（r－q）Δt}，r为无风险利率，q为股票的收益率。

将树形的期限设定为可转换债券的期限，在树形的末端，债券价格依赖于在这个时间上债券持有人所持有的转换期权，然后我们在树形结构上进行倒推计算。在每个可以进行转换的节点上，我们都需要检验转换是否为最优决策。同时，在可允许将债券赎回的节点上我们还要检验债券发行方是否会将债券赎回，而且如果发行方将债券赎回，我们还要检验将债券转换是否是最优决策。这些决策等价于在节点上将债券价格取为

其中Q₁为由倒推所产生的价值（假定债券未被转换，也未被赎回），Q₂为被赎回后的价值，Q₃为转换后的价值。

例27-1

考虑一个由XYZ公司发行的面值为100美元的9个月期零息债券。假定在9个月的期限内，债券持有者可将债券转换为两只XYZ的股票，而且该债券可以在9个月内的任意时刻以113美元的价格被赎回。股票的最初价格为50美元，波动率为每年30%，股票不支付股息，公司的违约密度λ为每年1%，对应于所有期限的无风险利率均为5%。假定在违约发生时，债券价值为40美元（按通常定义，回收率为40%）。

图27-2显示了可以用来对可转换债券定价的股票价格树形结构，树形共有3步（Δt=0.25）。每个节点上方的数值为股票价格，下方数值为可转换债券的价值。树形结构的3个参数为

公司违约（即转换到最低节点）的概率为1－e^{－0.01×0.25}=0.002497。在3个违约节点上，股票价格为0，债券价值为40。

图27-2　对可转换债券定价的树形。节点上方数值为股票价格；下方数值为可转换债券价值

我们首先考虑树形的终端节点。在节点G和H上，债券将被转换，转换后的价值是股票价格的2倍；在节点I和J上，债券将不会被转换，其价值为100。

对树形结构进行倒推计算后，我们可以得出在树形中前面节点上债券的价值。例如，考虑节点E，如果债券被转换，其价值为2×50=100美元；如果债券不被转换，这时会有：（a）以0.5167的概率转移到节点H，这时债券的价值为115.19美元；（b）以0.4808的概率转移到节点I，这时债券的价值为100美元；（c）以0.002497的概率公司违约，这时债券的价值为40美元。因此，债券不被转换时的价值为

这个值比转换后价值100美元要高，因此在节点E上，我们不会将证券进行转换。最后，因为赎回价格113美元高于106.36美元，因此在节点E上债券发行方不会将债券赎回。

作为另一个例子，我们考虑节点B。在债券被转换后其价值为2×57.597=115.19美元；如果不转换，采用类似节点E上的计算可以得出债券价值为118.31美元，因此债券持有者不会将债券进行转换，但债券发行方会以113美元的价格将债券赎回，这时债券持有者将债券转换所取得的收益比债券被赎回后取得的收益要好，因此债券持有者会选择将债券进行转换。在B点的债券价值为115.19美元。采用类似的做法可以得出债券在节点D的价值。在没有转换时，债券价值为132.79美元。但是，由于债券将被赎回而会导致强行转换。在这一节点债券价值会减低到132.69美元。

可转换证券的价格等于在最初节点A上的价格，即106.93美元。

当债券支付券息时，我们在计算时必须将其考虑在内。在每个节点上，在债券不被转换的前提下计算债券价值时，债券在将来所支付的所有券息的贴现值都应当被考虑在内。风险中性违约密度λ可以通过债券价格或信用违约互换的溢价来估计。在更一般的实现过程中，λ、σ和r均可以为时间的函数。这时，我们可以通过三叉树（而不是二叉树）来进行计算（见21.4节）。

我们这里所讨论模型的缺点是违约概率与股票价格无关。一些研究人员建议利用一些隐式差分方法来实现这种模型，其中违约密度λ可以是股票和时间的函数。^[2]

[1] 见J.E.Ingersoll，“A Contingent Claims Valuation of Convertible Securities，”Journal of Financial Economics，4，（May 1977），289-322。

[2] 例如，像L.Andersen and D.Buffum，“Calibration and Implementation of Convertible Bond Models，”Journal of Computational Finance，7，1（Winter 2003/04），1-34。这些作者假设违约密度函数与Sα成反比，其中S为股票价格，α为一个正常数。