第27章　再谈模型和数值算法

到目前为止，对期权定价时我们均采用了资产价格服从几何布朗运动的假设。在此假设下所产生的布莱克-斯科尔斯-默顿公式和数值算法都比较简单。在这一章里，我们将引入一些新模型，并解释如何改变数值算法来处理一些特殊问题。

在第20章里，我们解释了交易员采用波动率曲面来克服几何布朗运动模型的不足。在对简单期权定价时，波动率曲面给出了在布莱克-斯科尔斯-默顿模型中应采用的波动率。不幸的是，对于特种期权，在使用第26章里的期权公式时，波动率曲面不再能告诉我们什么是应该使用的正确波动率。假定对于1年期的简单期权，当执行价格为40美元时，波动率曲面给出的波动率为27%，但这一波动率对执行价格等于40美元的1年期障碍期权（或其他特种期权）不一定适合。

本章的第一部分讨论了几种可以取代几何布朗运动的模型，这些模型可用于特种期权的定价，并同时保证与简单期权价格的一致性。这些替代模型中资产价格所服从的过程对于简单期权市场价格的匹配比几何布朗运动要更好。因此，我们将这些模型用于特种产品时会更有信心。

在本章的第二部分里我们将进一步讨论数值方法。我们将解释如何应用树形结构对可转换债券（convertible bond）以及其他依赖路径期权（path-dependent option）定价，并讨论对障碍期权定价时存在的特殊问题以及解决方法。在最后，我们简要介绍如何建立关于两个相关变量的树形结构以及如何将蒙特卡罗模拟法用于具有提前行使权利的衍生产品定价。

在以前的章节中，我们讨论了如何对收益率为q的证券上的衍生产品定价。对于股指期权，q应等于股指的收益率；对于汇率期权，q应等于外币的无风险利率；对于期货期权，q应等于无风险利率。