26.4　缺口期权

缺口期权是一种欧式期权，当S_T≥K₂时，其收益为当S_T－K₁。缺口期权与具有执行价格K₂的普通看涨期权之间的区别是当S_T≥K₂时，收益增加了K₂－K₁。这个数量的正与负取决于是K₂>K₁还是K₁>K₂。

对欧式缺口期权定价时，只要将布莱克-斯科尔斯-默顿公式稍加修改即可。采用常用的记号，这个值等于

其中

这个公式所给的价格比通常的布莱克-斯科尔斯-默顿公式所给执行价格为K₂的普通看涨期权价格高出

为了理解这个差别，注意行使期权的概率是N（d₂），而当期权被行使时，缺口期权持有人的收益比普通看涨期权持有人的收益高出K₂－K₁。

缺口看跌期权的收益当S_T<K₂时为K₁－S_T。期权的价值等于

其中d₁和d₂的定义如式（26-1）所示。

例26-1

某资产的目前价值为500000美元。在今后1年内，其波动率预期为20%。无风险利率为5%，资产没有任何收入。假设一家保险公司同意如果在1年年末资产的价值低于400000美元时以400000美元的价格收购该资产，那么只要当资产的价值低于400000美元，保险公司就要支付400000-S_T。保险公式对投保人提供了一个普通看跌期权：投保人有权在1年年末按400000美元的价格将资产卖给保险公司。这份保险的价值可以由式（15-21）来计算，其中S₀=500000，K=400000，r=0.05，σ=0.2，T=1。价值是3436美元。

以下假定转移资产的费用是50000美元，而这项费用由投保人承担。这时只有当资产的价值低于350000美元时，期权才会被行使。在这种情况下，当S_T<K₂时对保险公司而言费用为K₁－S_T，其中K₂=350000，K₁=400000，S_T为1年后资产的价格。这里的保险是一个缺口看跌期权，其价值可以通过式（26-2）来计算，其中S₀=500000，K₁=400000，K₂=350000，r=0.05，σ=0.2，T=1。价值是1896美元。在本例中，将索赔时投保人的费用考虑在内后，这项保险对保险公司的费用将会降低大约45%。