25.10　合成CDO的定价

DerivaGem软件可以用来对合成CDO定价。为了解释计算过程，假定合成CDO份额的付款时间为τ₁，τ₂，…，τ_m和τ₀=0。定义E_j为在时刻τ_j份额面值数量的期望值，v（τ）为在时刻τ收取1美元的贴现值。假定关于特定份额的溢价（即为了买入信用保护所支付的基点数）为每年s，该溢价应用于剩余份额面值上。CDO的预期正常付费贴现值为sA，其中

时刻τ_j－1与τ_j之间损失的期望值为E_j－1－E_j。假定损失发生在时间段的中间点（即在时刻0.5τ_j－1+0.5τ_j）。CDO份额的收益期望贴现值为

损失发生时的应计付款为sB，其中

对于信用保护的买入方而言，份额的价值为C－sA－sB，两平溢价（breakeven spread）是指付款贴现值等于收益贴现值时的情形，即

因此，两平溢价满足以下方程

式（25-1）~式（25-3）展示了份额面值期望在计算两平溢价时所起的关键作用。如果对于所有付款日我们都已知份额面值期望，另外假定零息收益率曲线也为已知，那么我们可以通过式（25-1）~式（25-4）来计算两平溢价。

25.10.1　利用违约时间的高斯Copula模型

在24.9节中，我们引入了关于违约时间的单因子高斯Copula模型，这是关于合成CDO定价的标准市场模型。假定到时间t所有公司都具有相同的违约概率Q（t），式（24-9）将这个到时间t的无条件违约概率转换成到时间t之前在因子F条件下违约的概率

其中ρ为Copula相关系数。这里假定了所有公司之间的相关系数都是相同的。

在计算Q（t）时，通常假定公司的违约率为常数，并与指数的溢价一致。通过第25.2节中的CDS定价公式，我们可以求出违约率，在求解过程中我们需要保证求到的违约率与指数的溢价相匹配。假定违约率为λ，由式（24-1）得出

由两项式分布的性质，标准市场模型给出了正好有k个公司违约的概率为（在F的条件下）

其中n为合成CDO中参考实体的总数量。假定这里考虑的份额所覆盖的资产组合损失范围为α_L至α_H，参数α_L被称为附着点（attachment point），参数α_H被称为离开点（detachment point）。定义

其中R为回收率。再有，定义m（x）为大于x的最小整数。在不失一般性的前提下，我们可以假设份额的最初面值为1。当违约数量k小于m（n_L）时，份额面值为1；当违约数量k大于或等于m（n_H）时，份额面值为0；在其他情形下，份额的面值为

定义E_j（F）为在给定因子F值的条件下，份额面值在时刻τ_j的期望值，因此

定义A（F）、B（F）和C（F）分别为在F条件下A、B和C的值。与式（25-1）~式（25-3）类似，我们有

变量F服从标准正态分布。为了计算A、B和C的无条件值，我们必须对A（F）、B（F）和C（F）在标准正态分布下进行积分。一旦求得无条件值后，两平溢价等于C/（A+B）。^[1]

积分的计算最好是通过高斯求积公式（Gaussian quadrature）来完成。计算过程中涉及以下近似式

以上公式的精确程度随着M的增大而增大。对于不同的M，作者网页上给出了参数w_k和F_k的取值。^[2]这里的M是DerivaGem里“积分点数”（number of integration points）的2倍。一般情况下将积分点数设成20就足够了。

例25-2

考虑iTraxx欧洲的中间份额（5年期限），Copula相关系数为0.15，回收率为40%。这时，α_L=0.03，α_H=0.06，n=125，n_L=6.25以及n_H=12.5。我们假设利率期限结构呈水平状，为3.5%，付款频率为每季度一次，指数的CDS溢价为50个基本点。采用与25.2节中类似的计算方式，可以得到与CDS溢价相对应的常数违约率为0.83%（连续复合）。其他计算的摘要列举在表25-7中。在式（25-12）中的M=60，因子F_k和权重w_k的取值列在表的最上部；在因子取值的条件下，利用式（25-5）~式（25-8）所得到的份额面值期望值列在表的第二部分里；在因子取值的条件下，由式（25-9）~式（25-11）所得到的A，B和C的取值列在表的后三部分里：变量A，B和C的无条件值是通过在F概率分布上对A（F）、B（F）和C（F）进行积分而得出的。计算过程是在式（25-12）中轮流将g（F）换成A（F）、B（F）和C（F）。计算结果为

两平溢价为0.1496/（4.2846+0.0187）=0.0348，即384个基点。

表25-7　例25-2中CDO的定价

这个结果可以通过DerivaGem得到：通过CDS工作表可以将50个基点的溢价转换成0.83%的违约率,然后利用这个违约率并取30个积分点,即可得到表中的结果。

25.10.2　第k次违约CDS的定价

第k次违约CDS（kth-to-default CDS）（见第25.6节）价值也可以通过在因子F条件下用标准市场模型来求得。第k次违约发生在介于τ_j－1和τ_j之间的条件概率等于到τ_j时至少有k次违约发生的概率减去到τ_j－1时至少有k个违约发生的概率。由式（25-5）~式（25-7），我们可以得出所求的概率为

假定介于时间τ_j－1和τ_j之间的违约发生在时刻0.5τ_j－1+0.5τ_j，这样一来，我们可以在因子F的条件下计算收益的贴现值，计算方式与一般的CDS收益计算方式相同（见第25.2节）。通过在F上积分，我们可以求得费用和收益的无条件贴现值。

例25-3

考虑一个由10个不同债券组成的组合，每个债券的违约率为2%。假定我们想计算对第3次违约提供保护的CDS价值，CDS的付款时间在每年的年底。假定Copula相关系数为0.3，回收率为40%，无风险利率为5%。如在表25-7中一样，我们考虑60个不同的因子值。截止到第1~5年债券的无条件累计违约概率分别为0.0198，0.0392，0.0582，0.0769和0.0952。式（25-5）表示在F=－1.0104条件下，相应的违约概率分别为0.0361，0.0746，0.1122，0.1484和0.1830。由二项式分布得出截止到第1~5年，至少有3个债券违约的条件概率分别为0.0047，0.0335，0.0928，0.1757和0.2717。第3个债券违约发生在第1~5年中的条件概率分别为0.0047，0.289，0.0593，0.0829和0.0960。采用与25.2节里类似的分析，我们可以得出在F=－1.0104条件下，收益期望贴现值、付款贴现值、应计付款贴现值分别为0.1379，3.8443s和0.1149s，其中s代表溢价。对其他的59个因子值可以利用类似的计算方式，然后利用式（25-12）在F上求积分。由此得出收益的无条件贴现值、付款贴现值和应计付款贴现值分别为0.0629，4.0580s和0.0524s。CDS的两平溢价为0.0629/（4.0580+0.0524）=0.0153，即153个基点。

25.10.3　隐含相关系数

在标准市场模型中，回收率通常被假定为40%，因此，参数ρ为模型中唯一的未知参数。这一特性与在布莱克-斯科尔斯-默顿模型中波动率是唯一未知参数的情形相类似。市场参与者喜欢由份额市场报价来隐含出相关系数，这一点与他们由期权价格来隐含出期权波动率的做法是相似的。

假定份额｛α_L，α_H｝从低级到高级的排序为{α₀，α₁}，｛α₁，α₂｝，｛α₂，α₃｝，…，其中α₀=0（例如，对于iTraxx欧洲指数，α₀=0，α₁=0.03，α₂=0.06，α₃=0.09，α₄=0.12，α₅=0.22，α₆=1.00）。通常有两种不同的隐含相关系数度量。一种是复合相关系数（compoundcorrelation）或份额相关系数（tranche correlation）：对于份额｛α_q－1，α_q｝，这是使得通过模型得到的份额溢价与市场溢价一致的相关系数ρ，它可以通过迭代的方式进行；另一种相关系数叫基础相关系数（base correlation）：对于任意一个α_q（q≥1），这是使份额｛0，α_q｝的价值与市场价值一致的参数，其计算步骤如下：

（1）计算每个份额的复合相关系数。

（2）利用所得到的复合相关系数，计算每个份额在CDO期限内损失期望值的贴现值占最初份额面值的百分比，这一比率即为前面已经定义过的变量C。假定对于份额｛α_q－1，α_q｝，相应的C取值为C_q。

（3）计算份额｛0，α_q｝损失期望值的贴现值占整体标的资产组合份额面值的百分比，所得值等于。

（4）对应于份额｛0，α_q｝的C值等于第三步求得的数量除以α_q。基础相关系数就是与以上C值保持一致的相关系数ρ，这可以通过迭代法来求得。

对于表25-6中在2007年1月31日的iTraxx欧洲指数，图25-3显示了上面第三步中对份额损失期望贴现值占整体资产组合份额面值百分比的计算结果。表25-8给出了这些报价的隐含相关系数。这些结果是通过DerivaGem来求得的，其中假设利率期限结构为水平，每年3%，回收率为40%。CDS工作表显示对应于23个基点溢价的违约率为0.382%。隐含相关系数是通过CDO工作表来计算的。图25-3所用的值也可以利用上面第3步里的表达式通过这个工作表来计算。

图25-3　2007年1月31日iTraxx欧洲指数中0到X%份额的预期损失贴现值占整体面值的百分比

表25-8中所示的相关系数规律是在市场上所观察到的这种系数的典型代表。复合相关系数显示了相关系数微笑（correlation smile）特性：当份额级别变得越来越高时，隐含相关系数首先下降，然后又升高；基础相关系数展示相关系数偏态（volatility skew）特性：基础相关系数是份额附着点的递增函数。

表25-8　2007年1月31日5年期iTraxx欧洲指数的隐含相关系数

如果市场价格与单因子高斯Copula模型是一致的，那么对于所有的份额，隐含相关系数（无论是复合相关系数还是基础相关系数）均应相等。但从实际中所观察到的明显微笑和偏态特性可以看出，市场价格与这种模型并不一致。

25.10.4　非标准份额的定价

对iTraxx欧洲指数中标准资产组合，我们并不需要利用模型来计算标准份额的溢价，因为在市场上可以观察到这些溢价，但有时却需要对标准资产组合中的非标准份额提供报价。假如你想得到iTraxx欧洲指数中4%~8%份额的报价，一种方法是通过对基础相关系数进行插值来得到对应于0~4%份额和0~8%份额的基础相关系数。由这两个相关系数我们可以计算这些份额预期损失的贴现值（作为整体资产组合面值的百分比）。4%~8%份额损失期望的贴现值（作为整体面值的百分比）可以被估计成0~8%份额和0~4%份额损失期望值贴现值之差，由此我们可以隐含出复合相关系数，并得出份额的两平溢价。

现在人们认识到以上的做法并非是最佳的选择，另一种更好的做法是对于每个标准份额，我们计算出相应的预期损失，并产生类似于图25-3的图形，该图形显示了0~X%份额的损失期望值随X的变化。在这个图形上进行插值，我们得出0~4%份额和0~8%份额的损失期望值，由这两个值的差作为对4%~8%份额损失期望值的估计要比通过对基础相关系数进行插值而得到的结果更好。

我们可以证明为了保证无套利条件的成立，图25-4中损失期望值的递增速度必须越来越慢。如果对基础相关系数进行插值，并由此来计算损失期望值，无套利条件常常会不满足（这里的问题是0~X%份额的基础相关系数是0~X%份额损失期望的非线性函数），因此对预期损失直接进行插值要远远优于间接地对基础相关系数进行插值，而且这样做，我们可以保证前面所提到的无套利条件成立。

[1] 对于股权份额，标价对应于最初的付费以及每年的500基点的费用，收支平衡的最初付款数为C－0.05（A+B）。

[2] 参数wk和Fk的选取是通过对Hermite多项式求解来得出，读者可以在网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes里的Technical Note 21中找到更多关于高斯求积公式的信息。