25.2　CDS定价

我们可以利用违约概率来估计关于特定参考实体的CDS溢价，下面的简单例子可以说明这一点。

假设参考实体在CDS的整个5年期限内的违约率都是每年2%。表25-1给出了生存概率与无条件违约概率。由式（24-1），生存到时间t的概率是e^-0.02t，在1年内违约的概率等于在年初的生存概率减去在年底的生存概率。例如，生存2年的概率是e^-0.02×2=0.9608，而生存3年的概率是e^-0.02×3=0.9418，因此在第3年内违约的概率是0.9608-0.9418=0.0190。

表25-1　无条件违约概率以及生存概率

我们接下来假设违约只会发生在1年的中间，并且在CDS中信用保护的付款时间是在每年的年底。我们还假定无风险利率为每年5%（连续复利），回收率为40%。由此我们将计算过程分为3部分，计算结果显示在表25-2、表25-3和表25-4中。

表25-2给出了CDS预期支付期望值的贴现值，在这里我们假定溢价为每年s，名义本金为1美元。例如，第3次数量为s的付款发生的概率为0.9418，因此付款数量的期望值为0.9418s，贴现值为0.9418se^－0.05×3=0.8106s。所有付款期望值的贴现总和为4.0728s。

表25-2　预期支付贴现值（数量=每年s）

表25-3　预期收益的贴现值（名义本金=1美元）

表25-3给出了对应于名义本金为1美元的预期收益贴现值。在前面我们已经假设违约事件总是在年中发生。例如，收益发生在第3年年中的概率为0.0190，因为回收率为40%，所以对应于第3年年中的预期收益为0.0190×0.6×1=0.0114美元，贴现值为0.0114e^－0.05×2.5=0.0101美元。收益期望贴现值的总和为0.0506美元。

表25-4给出了计算的最后一步。在这里我们计算在违约时的应计付款（accrual payment）。例如，违约发生在第3年年中的概率为0.0190，而此时对应的累积应计付款的期限为半年，所以应计付款的数量为0.5s，对应这一时间段的应计付款期望值为0.0190×0.5s=0.0095s，贴现值为0.0095se^－0.05×2.5=0.0084s，应计付款期望值的贴现值为0.0422s。

表25-4　应计付款的贴现值

由表25-2和表25-4我们得出支付期望值的贴现值为

由表25-3，收益期望值的贴现值为0.0506美元。令两者相等

即s=0.0123。因此我们所考虑的5年期CDS溢价的市场中间价为0.0123乘以名义本金，或每年123个基点。这个结果也可以由DerivaGem里的CDS计算表产生。

在以上的计算里我们假设违约事件只可能发生在付款日之间的中间。尽管在一般情况下这个简单假设就可以给出较好的结果，但我们仍可以很容易地将结果推广到违约可能发生在更多时间点上的情形。

25.2.1　对CDS按市值计价

与其他形式的互换一样，对CDS每天都按市值定价。CDS的价值可能是正，也可能是负。假设在我们例子中的CDS是在一段时间之前签订的，溢价是150个基点，这时买方所支付的费用为4.1150×0.0150=0.0617，收益期望值的贴现值为0.0506。对于信用卖出方来讲，这一CDS的价值为0.0617-0.0506=0.0111，即名义本金的0.0111倍。对于信用保护的买入方而言，这一CDS按市场计价的价值为面值的-0.0111倍。

25.2.2　估计违约概率

在CDS定价中，我们采用的违约概率应该是风险中性违约概率，而不是现实世界里的违约概率（关于这两个概率的差别，见第24.5节中的讨论）。在24章中我们曾解释过如何从债券价格或资产互换价格来估计风险中性违约概率。另外一种方法是从CDS的报价中隐含出违约概率的估计值。这一方式类似于在期权市场上交易商从比较活跃的期权价格中计算隐含波动率的做法。

在表25-2、表25-3和表25-4中的例子中，假设我们并不知道违约概率，但已知市场上5年期CDS的报价为每年100个基点。（利用Excel里的Solver）我们可以逆向计算出隐含违约概率为每年1.63%。利用DerivaGem，我们可以通过信用溢差期限结构来计算违约率的期限结构。

25.2.3　两点信用互换

两点信用互换（binary credit default swap）与普通的CDS相似，不同之处是它的收益为一个固定的值。假设在表25-1~表25-4的例子中对应的收益为1美元（而不是1－R），将两点CDS的溢价记为s，表25-1、表25-2和表25-4均不变，但由表25-5代替表25-3。新的两点CDS溢价由4.1150s=0.0844给出，由此s=0.0205，即205个基点。

表25-5　由两点CDS来计算预期收益的贴现值（本金=1美元）

25.2.4　回收率有多么重要

无论我们是采用CDS溢价还是债券价格来估计违约概率，我们都要有一个回收率的估计值，但是如果我们采用同样的回收率来估算风险中性违约概率和计算CDS价格，那么我们得出的CDS价值（或CDS溢价）对回收率的敏感性并不是很强，这是因为隐含违约概率大约同1/（1－R）成比例，而CDS的收益大约同1－R成比例。

以上讨论对两点CDS的定价并不成立。隐含违约概率仍然大约同1/（1－R）成比例，但是两点CDS的收益与R无关。如果已知普通CDS和两点CDS的溢价，我们可以同时对回收率和违约概率进行估计（见作业题25.24）。