24.7　衍生产品交易中的信用风险

在本节中我们考虑如何量化双边结算衍生产品交易中的信用风险。一般来讲两家公司之间的双边结算衍生产品交易服从国际互换和衍生产品协会（ISDA）的主协议（master agreement）中的规定。协议中的一条重要条款是关于净额结算（netting）的规则：这项规则指明为了（a）计算在违约事件发生时的权益，（b）计算必须提交的抵押数量，所有介于两家公司之间的未平仓交易都应当视作一项交易。

在主协议里还定义了违约事件（event of default）发生的情形。例如，当一方没有能够履行衍生产品交易所指明的支付，或没能按要求交付抵押品，或宣布破产时，就会有一个违约事件。交易对手有权利终止所有与其之间未平仓的交易。在下面两种情况下，这些结果很可能会给非违约方造成损失：

（1）对非违约一方，所有未平仓交易的总值是正的，而且高于违约方所交付的抵押品（假如有的话）价值。对于交易中没有抵押品的部分，非违约方成了无抵押债权人（unsecured creditor）。

（2）对违约的一方，所有未平仓交易的总值是正的，但是低于非违约方所交付的抵押品价值。为了要回自己已经交付的多余抵押品，非违约方成了无抵押债权人。

为了简化讨论，我们忽略因为需要更换与违约方之间所做的交易，非违约方由买入-卖出差价而带来的费用。

24.7.1　CVA与DVA

在第9章里我们曾介绍过CVA（信用价值调节）与DVA（债务价值调节）的概念。一家银行对其交易对手的CVA调节值等于由于对手违约所产生的预期费用的贴现值，而DVA调节值等于银行自己违约而给对手造成的预期费用的贴现值。银行违约的可能性对银行自己有利，因为银行有可能不需要按衍生产品的要求向对方支付。因此，作为对手的费用，DVA是对银行有益的。

未平仓交易的无违约价值（no default value）是当假设交易的双方都不违约情况下的交易价值（像布莱克-斯科尔斯-默顿这样的衍生产品定价模型所给出的都是无违约价值）。如果f_nd表示与某个交易对手之间未平仓交易对于银行的无违约价值，那么在考虑可能的违约情况后，未平仓交易的价值是

假设在银行与交易对手之间未平仓衍生产品交易中期限最长的是T年，如第9章里所述，将0和T之间分成N个区间，CVA和DVA的估计值为

其中q_i为对手在第i个区间里违约的风险中性概率；v_i为当对手在第i个区间的中间时间点上违约时，给银行造成损失的预期值的贴现值；为银行在第i个区间里违约的风险中性概率；为当银行在第i个区间的中间时间点上违约时，给对手造成损失（对银行有利）的预期值的贴现值。

首先考虑如何计算q_i。因为我们是在利用风险中性方法对未来现金流定价，所以q_i应当是风险中性违约概率（参见24.5节）。假设t_i是第i个区间的终点，那么q_i是交易对手在时间t_i和t_i+1之间的风险中性违约概率。我们首先采用一些不同的期限来估计对手的信用溢差，然后利用插值，可得到对期限t_i（1≤i≤N）内交易对手的信用溢差估计值s（t_i）。由式（24-2），对手在时间0和t_i之间的平均违约率估计值是s（t_i）/（1-R），其中R是当对手违约时的回收率期望值。由式（24-1），对手在直到t_i时仍未违约的概率是

这说明

是对手在第i个区间里违约的概率。可以利用类似的方法从银行的信用溢差来估计概率。

接下来我们考虑在假设没有提交抵押品的情况下如何计算v_i，这里的计算常常需要花大量时间利用蒙特卡罗模拟来完成。从时间0到T，在风险中性世界里对一些市场变量进行模拟，而这些市场变量决定了交易商与对手之间所有未平仓交易的无违约价值。在每次模拟实验中，在每个时间区间的中间点上计算银行关于对手的风险敞口，这里的风险敞口等于max（V，0），其中V是交易对于银行的总值（如果对银行来讲，总价值是负值时没有风险敞口；而价值为正时，风险敞口等于这个值）。计算在所有模型实验中这项风险敞口的平均值，将其贴现值乘以1减去回报率即可得到变量v_i的估计值。采用类似的方法，从对手对于银行的风险敞口可以计算变量。

当银行与对手之间有抵押协议时，v_i的计算会更复杂。在每次模拟实验中，在第i个区间的中间点上如果有违约事件发生，我们需要估计双方所持抵押品的价值。在这样的计算中，通常假设从违约发生的c天前开始，对方既不再提交抵押品，也不再归还超量的抵押品。参数c通常被称为补救期（cure period），一般等于10或20天。为了知道在区间中间点上违约发生时都持有什么抵押品，需要计算所有交易在c天前的价值。下面的例子展示了如何计算风险敞口的方法，预期损失v_i的贴现值是按所有试验中风险敞口的平均值计算的（这与无违约的情形一样）。考虑对手关于银行的风险敞口时，利用类似的方法可以得到。

例24-4

在银行与交易对手之间有双边零槛（zero-threshold）抵押协议，这说明每方都需要向对手提交价值max（V，0）的抵押品，这里V代表未平仓交易对于对手的价值。假设补救期为20天，τ是在银行的CVA计算中所用的一个时间区间的中间点。

（1）在一次模拟实验中，在时间τ，未平仓交易对银行的价值是50，而20天之前的价值是45。在这种情况下，通常假设如果在时间τ违约发生的话，银行所持有的抵押品价值是45，银行的风险敞口是衍生产品价值中没有抵押品的部分，即5。

（2）在一次模拟实验中，在时间τ，未平仓交易对银行的价值是50，而20天之前的价值是55。在这种情况下，通常假设如果在时间τ内发生违约的话，银行持有足够的抵押品，从而风险敞口是0。

（3）在一次模拟实验中，在时间τ，未平仓交易对银行的价值是-50，而20天之前的价值是-45。在这种情况下，通常假设如果在时间τ内发生违约的话，银行所交付的抵押品价值不超过50，从而风险敞口是0。

（4）在一次模拟实验中，在时间τ，未平仓交易对银行的价值是-50，而20天之前的价值是-55。在这种情况下，通常假设如果在时间τ内发生违约的话，对手仍持有价值为55的抵押品，银行的风险敞口是5，即多余的抵押品部分。

除了计算CVA外，银行通常还计算每个区间中间点上的高峰敞口（exposure peak），这是在每次蒙特卡罗模拟中风险敞口的高百分位数。例如，如果百分位等于97.5%，在1万次模拟实验中，一个区间中间点上的高峰敞口等于第250个高的风险敞口。最高峰敞口等于所有区间中间点上高峰敞口的最大值。^[1]

通常银行会保存在模拟中所有市场变量的样本路径，以及所计算的所有价值，这样可以加快有关新交易的CVA和DVA计算：这是因为在计算新交易对CVA和DVA的影响时，只需要在每个样本路径上计算新交易的价值。如果新交易的价值与已有的交易具有正相关性，这时很可能将会增加CVA和DVA，然而如果新交易的价值与已有的交易具有负相关性（比如完全或部分退出现存交易），这时很可能将会降低CVA和DVA。

在上面有关计算CVA方法的讨论中，我们假设了对手违约的概率与银行的风险敞口之间是相互独立的。在许多情形下这种假设比较合理。交易人员常常用术语错向风险（wrong-way risk）来描述当对手违约概率与风险敞口具有正相关性时的情形，而用正向风险（right-way risk）来描述当对手违约概率与风险敞口具有负相关性时的情形。为了描述违约概率与风险敞口的依赖性，人们提出了许多比上面描述的方法更复杂的模型。

对每个交易对手，银行都会有一个CVA和一个DVA，而这些CVA和DVA都可以被当成是衍生产品：其价值会随着市场变量变化、对手信用溢差变化以及银行信用溢差变化而变化。对CVA和DVA风险的管理方式与管理其他衍生产品风险的方式一样，可以计算希腊值、进行情形分析等。

24.7.2　信用风险的缓和

有许多种方法可以用来减少双边结算交易中的信用风险，其中之一是我们已经讲过的净额结算。假设银行与某个对手之间有3笔没有抵押的交易：价值分别为+1000万美元、+3000万美元和-2500万美元。如果将它们都作为独立交易，银行在这些交易上的风险敞口分别为+1000万美元、+3000万美元和0，总共为4000万美元。利用净额结算的话，将3笔交易放在一起作为一笔价值为1500万美元的交易，这样风险敞口从4000万降到了1500万。

抵押协议是减少信用风险的一种重要方式。抵押品可以是现金（挣取利息）或在市场上交易的证券。为计算抵押品数量问题，可以按某种百分比对证券的市场价值打折，所降低的数量被称为折扣（haircut）。在违约事件发生时，衍生产品交易将会受到优先考虑。非违约方有权扣留对方交付的所有抵押品，因此没有必要为此去打既耗财力又耗精力的官司。

金融机构用来降低信用风险的另一种方法是利用降级触发策略（downgrade trigger）。在ISDA总协议里有一项条款指明，如果对手的信用评级低于某个水平（比如BBB），银行有权对所有未平仓交易按市价平仓。但是当信用级别跳动幅度很大时（比如由A跳到违约），降级触发策略并不能提供多少帮助，而且只有当使用这种策略不是很多时，其效果才会相对较好。如果某家公司与许多对手之间都有降级触发协议的话，对其对手而言，这种策略起不了什么保护的作用（见业界事例24-1）。

业界事例24-1　降级触发与安然公司的破产

在2001年12月，美国最大的公司之一安然（Enron）公司宣布破产。直到安然破产前几天，安然公司的信用评级仍然是投资级，穆迪对安然在临破产前的评级为Baa3，而标准普尔的评级为BBB-。但是股票市场在一定程度上对安然的破产却已有所料：在破产之前的一段时间里，安然的股票价格急剧下跌。在这一段时间里，在第24.6节里所讨论的那些模型对安然违约概率的估计将会急剧增长。

安然与交易对手进行的大量衍生产品交易中都设定了降级触发条约，这些降级触发条约阐明当安然的信用评级低于投资级（即Baa3/BBB-）时，交易对手有权对交易进行平仓。假定安然的信用评级在2001年10月只是被降到低于投资级别，安然交易对手选择的平仓交易一定是那些对安然有负价值的交易（对交易对手而言具有正价值），因此安然公司要向交易对手付出大量的现金，而安然这时肯定是没有能力付出这一大笔费用，因此无论如何破产也会很快发生。

这一事例表明，降级触发条款只有在没有被滥用时才会有效，如果一个公司跟许多对手都签有降级触发条款，这也可能会导致公司破产。对于安然公司的情形，我们也许会说安然公司注定会破产，所以将破产进程提前两个月不会带来太多的危害。事实上，安然公司在2001年10月确实有一次生存的机会：另外一家能源公司Dynergy曾试图寻求抢救安然的方案。在2001年10月，无论是安然的股东还是贷款人都不希望安然破产。

信用评级公司发现它们自己处在比较尴尬的位置：它们如果为了正确反映安然的财务窘态而将安然降级，这无非是将安然立即判以死刑；如果它们不这样做，至少安然还有一线生机。

24.7.3　特殊情形

在本节里，我们考虑两个不需要蒙特卡罗模拟就可以计算CVA的特殊情形。

第一个特殊情形是当银行与对手之间只有一笔无抵押的衍生产品交易，而交易只是在时间T向银行提供收益（例如，银行向对手购买了剩余期限为T的欧式期权）。在将来时间银行的风险敞口等于期权在那个时间的无违约价值，因此风险敞口的现值等于衍生产品在将来时刻价值的贴现值，这正是衍生产品在今天的无违约价值：对所有i

其中f_nd为衍生产品在今天的无违约价值，R为回收率。这意味着

在这种情形下，DVA=0。因此在考虑信用风险后，衍生产品的价值为

我们现在考虑的衍生产品是由对手发行的T年期零息债券。假设债券的回收率与衍生产品回收率一样，债券的价值等于

其中B_nd为债券的无违约价值。由式（24-5）和式（24-6）

如果y为由交易对手所发行的T年期债券的收益率，B_nd为类似的无风险债券收益率，B=e^-yT和，我们得到

这说明在对衍生产品定价时，贴现率可以取成对风险中性世界里收益用来贴现的利率加上对手的T年期信用溢差。

例24-5

某个无抵押2年期期权的布莱克-斯科尔斯-默顿价格是3美元，由卖出这个期权的公司所发行的零息债券收益率比无风险利率高1.5%，当考虑违约风险后，期权的价值是3e^-0.015×2=2.91美元。在这里我们假定当违约事件发生时，这个期权不与别的衍生产品进行净额结算。

对第二个特殊例子，我们考虑如下情形：银行与交易对手签订了远期合约，银行在时间T按价格K购买某种资产。将在时间T交付的远期合约在时间t的远期价格定义为F_t，由第5.7节知道，交易在时间t时的价值为

其中r为无风险利率（假设为常数）。

因此银行在时间t的风险敞口等于

F_t在风险中性世界里的期望值等于F₀，lnF_t的标准差为，其中σ为F_t的波动率。由式（15A-1），在时间t风险敞口的期望值等于

其中

这样可以得到

例24-6

一家银行与一家矿业公司签订了一项远期合约，合约是在2年后银行按每盎司1500美元的价格向矿业公司购买100万盎司的黄金。目前的2年期黄金远期价格是每盎司1600美元。在计算CVA时，我们假设只考虑长度为1年的两个时间区间，公司在第1年内违约的概率是2%，在第2年内违约的概率是3%。无风险概率是每年5%，在违约发生时，预计有30%的回收率。黄金远期价格的波动率是20%。

在本例中，q₁=0.02，q₂=0.03，F₀=1600，K=1500，σ=0.2，r=0.05，R=0.3，t₁=0.5，t₂=1.5，从而

于是

和

类似地可以得到w（t₂）=201.18和v₂=130.65。

违约的预期费用为

远期合约的无违约价值是（1600-1500）e^-0.05×2=90.48，在考虑对手违约的可能后，价值降低到了90.48-5.77=84.71。我们可以将这里的计算推广到公司可能在更多时间点上违约的情形（见作业题24.29）。DVA将会使衍生产品的价值增加，对它的计算与CVA类似（见作业题24.30）。

[1] 这里存在一些（通常被忽略的）理论问题。高峰敞口是情形分析里的一种度量，因此应当利用在现实世界里的违约估计（而不是风险中性世界里的违约估计）。