24.6　利用股价估计违约概率

当我们利用类似于表24-1中数据来估计公司在现实世界里的违约概率时，我们必须依赖公司的信用评级，不幸的是公司信用评级的更新较慢。许多人认为在估计违约概率时，股票价格可以提供更及时的信息。

默顿在1974年提出了一种将公司股票当成公司资产上期权的模型。^[1]为了便于讨论，假设公司仅发行了一个零息债券，债券到期时间为T。定义：

V₀：公司资产的当前价值；

V_T：公司资产在时间T的价值；

E₀：公司股票的当前价值；

E_T：公司股票在时间T的价值；

D：公司债券在时间T的本金；

σ_V：资产波动率（假设为常数）；

σ_E：股票的瞬时波动率。

当V_T<D时，公司会对自己发行的债券违约（至少在理论上讲），此时公司股票的价值为0；当V_T>D时，公司会支付自己在时间T时应偿还的债务，这时股票价值为V_T-D。因此在默顿模型中，在时间T时公司的股票价值为

这表示公司的股票可以被看作公司资产上的看涨期权：期权的执行价格为应偿还债券本金的总量。布莱克-斯科尔斯-默顿公式给出了这一期权的当前价值

其中

债券今天的价值等于V₀-E₀。

公司在时间T时违约的风险中性概率为N（-d₂）。为了计算这一数量，我们需要V₀与σ_V，而这两个变量都不能从市场上直接观察到。但是如果公司是一家上市公司，我们可以观察到E₀，这意味着式（24-3）给出了一个V₀与σ_V必须满足的等式。我们也可以通过历史数据或期权价格来估计σ_E。由伊藤引理，我们得出

以上方程是V₀与σ_V必须满足的另一个等式。式（24-3）与式（24-4）给出了一组关于V₀和σ_V的方程，由这两个方程我们可以求得V₀及σ_V。（注：为了对两个非线性方程F（x，y）=0和G（x，y）=0求解，我们可以采用Excel中的Solver功能，通过求取［F（x，y）］²+［G（x，y）］²的极小值来达到目的。）

例24-3

某家公司的股权价值为300万美元，股权变化的波动率为80%，公司在1年后必须支付的债务总额为1000万美元，无风险利率为每年5%。在以下计算中的数量以百万计。对应这一情形E₀=3，σ_E=0.80，r=0.05，T=1和D=10。对式（24-3）和式（24-4）求解，我们得出V₀=12.40与σ_V=0.2123，参数d₂=1.1408，因此公司违约的概率为N（-d₂）=0.127，即12.7%。债券的当前市价为V₀-E₀，即9.40。债券面值的贴现值为10e^-0.05×1=9.51，因此债券的预期损失为（9.51-9.40）/9.51，即无违约可能时价值的大约1.2%。预期损失（expected loss，EL）等于违约概率（probability of default，PD）乘以1减去回收率，因此回收率等于1减去EL/PD。在本例中，回收率为1-1.2/12.7，即无违约可能时价值的91%。

我们可以将上面的默顿模型基本形式在几个方面加以推广。例如，一种形式是假设一旦资产价格低于一定的障碍值时，就会触发违约，另一种推广是允许使债券需要多次进行偿还支付的情形。

由默顿模型及其推广形式所产生的违约概率与实际违约概率有多么接近呢？这一问题的答案是默顿模型及其推广对于违约概率提供了较好的排序功能（风险中性或现实世界）。这意味着通过某种单调变换，我们可以将由默顿模型产生的违约概率转换成对现实世界里或风险中性世界里违约概率的估计。^[2]利用理论上的风险中性违约概率N（－d₂）（因为这是由期权定价模型中估计的）来估计现实世界里的违约概率，这种做法看上去比较奇怪，但在对上面模型的矫正过程中，我们假设了对不同公司的风险中性违约概率排序与其现实世界里违约概率的排序是一样的。

[1] 见R.Merton“On the Pricing of Corporate Debt：The Risk Structure of Interest Rates，”Journal of Finance，29（1974），449-470。

[2] 穆迪KMV公司将默顿模型的违约概率转换为现实世界的违约概率（这一概率被称为EDF，EDF为预期违约频率（expected default frequency）的缩写）。CreditGrades采用默顿模型来估计信用溢差，这一信用溢差与风险中性违约概率密切相关。