24.2　历史违约概率

表24-1是由评级公司公布的一组典型数据，这些数据显示了在最初为某个级别的债券在今后20年内的违约情况。例如，初始信用级别为Baa的债券有0.177%的概率在一年内违约，有0.495%的概率在两年内违约，等等。债券在一个指定年份违约的概率可由这一表格计算得出。例如，初始信用级别为Baa的债券在期限中第二年违约的概率为0.495%-0.177%=0.318%。

表24-1　1970~2012年的平均累积违约率（以百分比计）

资料来源：穆迪。

表24-1显示具备投资级别的债券在一年内的违约概率随着期限的增大而增大（例如，A级债券在第0~5年、5~10年、10~15年以及15~20年内的违约概率分别为0.870%、1.610%、1.775%和2.586%）。这是因为在发行时，债券的信用级别较好，但随着时间的推移，公司信用出现问题的可能性会随之增大。而对于最初信用级别较差的债券，每年的违约率常常是时间的一个递减函数（例如，B级债券在第0~5年、5~10年、10~15年以及15~20年的违约概率分别为24.613%、17.334%、10.270%和5.867%）。产生这一现象的原因是如果一个债券的信用较差，债券在今后一两年能否生存会面临巨大挑战，但公司如果能够顺利渡过难关，那么今后的财务前景将会变得乐观起来。

违约率

由表24-1我们可以计算出Caa或更低级别的债券在第3年内的违约率为36.908%-27.867%=9.041%。我们将其称为无条件违约概率（unconditional default probability）。此概率是今天（即在0时刻）观察的在第3年内违约概率。Caa债券一直到第2年年底都不会违约的概率为100%-27.867%=72.133%，因此我们得出在前两年没有违约的条件下，公司在第3年内违约的概率为0.09041/0.72133=12.53%。

这里计算出的12.53%是对应于1年观察期的违约概率。假设我们考虑一个很短的时间段Δt，定义在时间t的违约率λ（t）为在之前没有违约的条件下，违约发生在时间t与t+Δt之间的概率为λ（t）Δt。如果V（t）是从今天到时间t公司仍然生存的累积概率（即在时间t之前没有违约），那么在时间t与t+Δt之间违约的条件概率为［V（t）-V（t+Δt）］/V（t），由于这个概率等于λ（t）Δt，我们有

取极限后得出

因此

定义Q（t）为在时间t之前违约的概率，因此Q（t）=1-V（t），我们得出

或者

其中为介于时间0与时间t之间违约率的平均值，条件违约概率被称为违约密度（default intensity）。