23.5　极大似然估计法

我们现在讨论如何由历史数据来估计以上所讨论模型中的参数。这里将要讨论的方法称为极大似然方法（maximum likelihood method）。在参数估计过程中这一方法会涉及选择使数据发生的概率（likelihood）达到最大的参数。

我们引用一个简单例子来说明这种方法。在某一天我们随机地抽取10个股票的价格，我们发现其中一个股票价格在这一天下降了，而其他9个股票的价格没有变化或有所增加。这时，股票价格下降概率的最好估计为多少？一种自然的答案是0.1。让我们看一下这一结果是否就是极大似然估计所给出的结果。

将股票价格下降的概率计为p，对应只有一种股票价格下降而其他股票价格不下降的概率为p（1-p）⁹。应用极大似然估计方法，最好的估计值p会使得p（1-p）⁹取得最大值。将以上表达式对p求导，并令导数为0，我们得出时会使得表达式取得最大值，这说明极大似然估计值为0.1，正如所期望的那样。

23.5.1　估计常数方差

在下一个有关极大似然方法的例子中，我们考虑如何由服从正态分布并且期望值为0的变量X的m个观察值来估计这一变量的方差。我们假定观察值为u₁，u₂，…，u_m。将方差记为v。将观察值出现在X=u_i的概率定义成X的概率密度函数在u_i的取值，即

m个观察值正好按u₁，u₂，…，u_m出现的概率为

应用最大似然方法，v的最好估计使得以上表达式达到最大值。

以上表达式的最大化与其对应的对数最大化等价，对式（23-10）取对数并且忽略常数项后可以得出我们想最大化的目标函数为

或

将以上表达式对v求导，并令导数为0，我们可以得到v的极大似然估计为^[1]

23.5.2　估计GARCH（1，1）模型中的参数

我们现在考虑如何用极大似然方法来估计EWMA，GARCH（1，1）或其他更新波动率方法中的参数，定义为第i天方差的估计值，在给定方差的条件下，u_i的概率分布为正态。与上面类似，我们得出最佳参数应使得以下表达式达到最大

取对数后，我们可看到这与对下面表达式求最大是等价的

除了v被代替为v_i，这一表达式与式（23-11）相同，我们可以采用迭代法来求取使得表达式式（23-12）达到最大的解。

表23-1中所示的计算表给出了估计GARCH（1，1）模型中参数的过程，这个表格分析了2005年7月18日至2010年8月13日之间标普500的数据。^[2]表中第1列对应于日期；第2列对应天数；第3列显示标普500在第i天结束时的值S_i；第4列显示了由第i-1天结束时至第i天结束时标普500的百分比变化，即u_i=（S_i-S_i-1）/S_i-1；第5列是对在第i-1天结束时对第i天方差率的估计，。在第3天开始，我们将方差设为，在接下去的每一天，我们采用式（23-9）来估计方差，第6列为似然性测度，第5列及第6列中的数据是基于当前参数ω，α和β的最新估计，我们的目标是如何选取ω，α和β使第6列中数值的和达到最大值。这一过程涉及迭代搜索程序。^[3]

表23-1　估计标普500指数在2005年7月18日到2010年8月13日之间GARCH（1，1）模型中的参数

在我们的例子中，参数的最优解为

表达式（23-12）的最大值为10228.2349。在表23-1中所显示的数字对应于参数ω，α及β的最终迭代解。

在我们的例子中，长期方差V_L为

长期波动率为，也就是每天1.4404%。

图23-1和图23-2显示了S&P 500指数与它的GARCH（1，1）波动率在数据所包括的5年内的变化。在大多数时间上波动率小于2%，但是在金融危机期间波动率经历了高达每天5%的情形（这个期间的高波动率也表现在VIX指数上，见15.11节）。

图23-1　标普500指数：2005年7月18日到2010年8月13日

图23-2　标普500指数的日波动率：2005年7月18日到2010年8月13日

另一种有时会更可靠的估计GARCH（1，1）参数的做法是所谓的方差目标（variance targeting）法。^[4]这种方法将长期平均方差V_L设定为由数据计算出的样本方差（或其他合理的估计），因为ω等于V_L（1-α-β），因此在模型中只需要估计两个参数，表23-1的数据所对应的样本方差为0.0002412，对应的日波动率为1.5531%，令V_L等于样本方差，我们可以找出使得目标函数式（23-12）达到最大化的α和β分别为0.08445和0.9101，相应目标函数值为10228.1941，这一数字只是稍稍低于前面计算的极值数据10228.2349。

当使用EWMA模型时，参数的估计过程就相对简单一些。因为ω=0，α=1-λ和β=λ，因此我们只需要估计一个参数，使用表23-1中的数据，我们可以求得使目标函数式（23-12）取得极大值的λ为0.937，对应的目标函数取值为10192.5104。

对GARCH（1，1）和EWMA方法我们都可以通过Excel软件中的Solver程序来找到使得似然函数达到最大的参数值。当计算表格的结构使得寻求的参数值大体在同一级别时，Solver程序的表现会令人满意。例如，在GARCH（1，1）模型中，我们可以将计算表中的单元A1、A2、A3与数据ω×10⁵，10α和β相对应。然后我们可以使单元B1=A1/100000、B2=A2/10以及B3=A3，我们通过B1，B2，B3来计算似然函数。我们可以让Solver计算A1，A2，A3上使似然函数得到最大的值。因为有时Solver会给出一个局部解，所以我们应当对于参数设定一些不同的初始值。

23.5.3　模型表现如何

GARCH模型所做的假设是波动率随时间变化。在某些时间里波动率会较高，而在其他时间里波动率较低。换一种形式讲，当较高时，会有增大的趋势；当较低时，会有降低的趋势，我们可以通过计算自相关系数（autocorrelation）来检验这些结论正确性。

我们假定确实具有自相关性，如果GARCH模型是有效的，自相关性就会被清除。我们可以通过计算变量的自相关系数来验证这一结论。如果它们的自相关系数很小，那么我们可以说模型确实解释了中的自相关性。

表23-2给出的是关于上面所用的标普500数据结果。第1列显示计算自相关系数所用的时滞（time lag），第2列对应于自相关系数，第3列展示了的自相关系数。（注：数列x_i对应于时滞k的自相关系数等于x_i与x_i+k的相关系数。）表中结果显示对应于1~15的所有时滞，的自相关系数均为正值。而对于，有些自相关系数为正而有些为负，而且它们的幅度比最初自相关系数要小得多。

表23-2　采用GARCH模型之前与之后的自相关系数

看来GARCH模型对于解释这些数据确实很有效。我们可以采用所谓的Ljung-Box统计量来做更为科学的检验。^[5]如果一个数列中有m个观察值，Ljung-Box统计量定义为

其中η_k对应于时滞为k的自相关系数，K为所考虑时滞的数量，以及

对于K=15，当Ljung-Box统计量大于25时，我们可以有95%的把握拒绝自相关系数为0这一假设。

在表23-2中，关于数列的Ljung-Box统计值为大约1566，这是说明确实存在很强的自相关性。关于数列的Ljung-Box统计值为21.7，这说明GARCH模型确实清除了数据中的大部分自相关性。

[1] 这一点证实23.1节第3个脚注的结论。

[2] 数据与计算过程可从www.rotman.utoronto.ca/~hull/GarchExample上找到。

[3] 如同在今后会讨论的那样，像微软软件Excel中的Solver这样的程序可以用来对问题求解。其他像诸如Levenberg-Marguardt这样的特殊算法也可以用来对问题求解。关于求解算法参考W.H.Press，B.P.Flannery，S.A.Teukolsky，and W.T.Vetterling，Numerical Recipes in C：The Art of Scientific Computing，Cambridge University Press，1988。

[4] 见R.Engle and J.Mezrich“GARCH for Groups”，Risk，August 1996，36-40。

[5] 见G.M.Ljung and G.E.P.Box，“On a Measure of Lack of Fit in Time Series Models，”Biometrica，65（1978），297-303。