22.5　二次模型

当投资组合中含有期权产品时，线性模型只是一个近似，其中不考虑投资组合的Gamma项。如第19章所述，Delta是投资组合价值变化随标的市场变量变化的比率，Gamma是投资组合Delta的变化随标的市场变量变化的比率。Gamma是测量投资组合价值与市场变量关系式中的曲率。

图22-4展示了非零Gamma对于投资组合价值概率分布的影响，当Gamma为正时，概率分布通常具有正偏性（positively skewed）；而Gamma为负时，概率分布通常具有负偏性（negatively skewed）。图22-5和图22-6解释了产生这一现象的原因。图22-5显示了一个看涨期权多头价值同标的资产的关系。一个看涨期权多头是具有正Gamma期权的例子，该图说明当标的资产价格在1天内的概率分布为正态分布时，相应期权价值的概率分布具有正偏性态。^[1]图22-6显示了一看涨期权空头价值与标的资产的关系。看涨期权空头的Gamma为负，这时当标的资产价格在1天内的概率分布为正态分布时，相应期权价值的概率分布具有负偏性。

图22-4　投资组合价值的概率分布

一个投资组合的VaR关键取决于投资组合价值分布左端的尾部。例如，当置信水平为99%时，VaR就是左端尾部中对应的、恰有1%的分布低于该值的数值，图22-4a与22-5显示，具有正Gamma的投资组合同正态分布相比，左端分布较为瘦小，在假设ΔP为正态分布时得出的VaR会偏高。类似地，由图22-4b与22-6显示，具有负Gamma的投资组合同正态分布相比，左端分布较为肥大，在假设ΔP为正态分布时得出的VaR会偏低。

图22-5　具有正态分布的标的资产概率分布与看涨期权多头概率分布的对应关系

图22-6　具有正态分布的标的资产概率分布与看涨期权空头的概率分布的对应关系

为了得到比线性模型更精确的VaR估计，我们可以在ΔP与Δx_i关系式中既考虑Delta又考虑Gamma。考虑一个只依赖单一资产价格S的投资组合，假定δ和γ为投资组合的Delta和Gamma。由第19章附录，式（22-4）中近似式的改进为（注：由第19章附录的泰勒级数展开式，以下方程是关于ΔP的近似式。

其中忽略阶数高于Δt的项。在实际中，ΘΔt非常小，也常常被忽略。）

令

由此得出

假定投资组合价值与n个市场变量有关，并且组合中每个产品只依赖于一个市场变量，则式（22-6）变为

其中S_i为第i个市场变量的值，δ_i和γ_i为投资组合关于第i个变量的Delta和Gamma。当组合的资产依赖于不止一个市场变量时，以上方程变为以下更为一般的形式

其中γ_ij为交叉Gamma项，其定义为

与式（22-1）相比，式（22-7）不是十分易于应用，但这一方程可用来计算ΔP的矩（moment）。由这些矩，我们可以利用统计学中的Cornish-Fisher展开来计算概率分布的分位数。（注：在网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes中的Technical Note 10给出了计算矩的细节，并且讨论了Cornish-Fisher展开的应用。当只有单一变量时，E（ΔP）=0.5S²γσ²，E（ΔP²）=S²δ²σ²+0.75S⁴γ²σ⁴，以及E（ΔP³）=4.5S⁴δ²γσ⁴+1.875S⁶γ³σ⁶，其中S为标的变量的值，σ为日波动率。DerivaGem软件中应用工具E（Sample Application E）对于这一情形实现了Cornish-Fisher展开。）

[1] 如22.3节脚注所述，在计算VaR时，我们可以用正态分布作为对数正态分布的近似。