22.2　历史模拟法

历史模拟法是计算VaR的一种流行方法，这种方法直接利用历史数据来预测将来可能发生的不同情形。假设我们采用过去501天的历史数据来计算某公司1天展望期、99%置信度的VaR（在计算市场风险VaR时，这样的展望期与置信区间是常用的选择。在选取数据时，最普遍的是选择501组数据。在下面我们将会看到，这对应于产生500个情形）。历史模拟法的第一步是选定影响投资组合的市场变量，这些变量一般是利率、股价、期货价格等。所有的价格都应当以本国货币来计算。例如，对一家德国银行来讲，一个市场变量可能会是以欧元计算的标普500指数。

然后我们需要收集这些变量在最近501天内的数据，这些数据为我们提供了从今天到明天市场变量可能发生的500种变化情形。我们将数据开始的第1天记为第0天（day 0），数据开始的第2天记为第1天（day 1），并依此类推。情形1为所有变量的百分比变化与它们在第0天和第1天之间的变化一样，情形2为所有变量的百分比变化与它们在第1天和第2天之间的变化一样，等等。对于每一个情形，我们可以计算从今天到明天之间的投资组合价值变化，并由此可以得出投资组合在一天内价值变化的概率分布，分布的1%分位数对应于500个计算数值的第5大的损失，^[1]VaR的估计刚好是第1个百分比分位数所对应的损失量。假定过去500天是对明天将发生情形的一个好的预测，那么公司会有99%的把握肯定，投资组合的损失会小于我们所估计的VaR值。

为了以代数形式来表示计算过程，定义v_i为市场变量在第i天的取值，并且假设今天是第n天（day n）。在历史模拟方法中，情形i假设了市场变量在明天的取值为

例解：在4个股指上的投资组合

为了说明历史模拟方法的计算过程，假设在2008年9月25日，某个美国的投资人拥有价值为1000万美元的在以下4个指数上的投资：美国的道琼斯工业平均指数（DJIA）、英国的富时100指数（FTSE 100）、法国巴黎指数（CAC 40）和日本日经225指数（Nikkei 225）。在2008年9月25日，投资组合在每个指数上的投资数量如表22-1所示。在网页^[2]http://rotman.utoronto.ca/~hull/OFOD/VaRExample里Excel计算表中有4个指数在过去501天收盘价格的历史数据，以及汇率和计算VaR的一组完整数据。因为我们是以美国投资者的角度来进行计算，因此FTSE 100，CAC 40和Nikkei 225都要根据汇率按美元数量来计量。例如，在2008年8月10日，FTSE 100为5823.40，当时的美元/英镑汇率是1.8918（即1英镑值1.8918美元）。这意味着以美元计量时，FTSE的值为5823.40×1.8910=11016.71。表22-2展示了经汇率调整后数据的一部分。

表22-1　计算VaR所用的投资组合

当对股权资产投资进行估价时，2008年9月25是个很有意思的日期。截至这一天，从2007年8月份开始的信用危机已经有一年了。在过去几个月内，股票价格一直在下跌，波动率还在上涨。雷曼兄弟在10天前刚宣布破产，而美国国会还没有通过财务部长的7000亿美元不良资产救助计划（Troubled Asset Relief Program，TARP）。

表22-2　经过利率调整后用于历史模拟的股指数据

表22-3给出的是在2008年9月26日这一天为产生各种情形所需要的市场变量值（以美元计）。情形1（表22-3里的第1行）显示的是：在假定从2008年9月25日到26日之间市场变量百分比变化等于2006年8月7日到8日之间市场变量百分比变化的前提下，市场变量在2008年9月26日的取值；情形2（表22-3里的第2行）显示的是：在假定从2008年9月25日到26日之间市场变量百分比变化等于2006年8月8日到9日之间市场变量百分比变化的前提下，市场变量在2008年9月26日的取值；等等。一般情况下，情形i产生的假设前提是：指数在2008年9月25日到26日之间的百分比变化等于第i-1日到第i日之间指数百分比变化（1≤i≤500）。表22-3中的500行代表以此生成的500个情形。

表22-3　利用表22-2中数据产生2008年9月26日的情形

在2008年9月25日，DJIA是11022.06。在2006年8月8日，DJIA值是11173.59，这比在2006年8月7日的值11219.38要低。因此在情形1下，DJIA的取值为

类似地，FTSE100，CAC40和Nikkei225的值分别为9569.235，6204.55和115.05。因此在情形1下，投资组合的价值为（以千美元计）

因此在情形1下，组合价值增长了14334，对其他情形可以进行类似的计算。图22-3显示了组合亏损的直方图（直方图的收益为负亏损），方块表示的亏损（以千美元计）分别在450~550，350~450，250~350，等等。

然后，将500个不同情形下的亏损排序，表22-4给出了部分结果。亏损中最坏的结果对应于情形494（对应的假设是：指数的变化数量与雷曼兄弟宣布破产那天指数的变化数量相同）。1天99%VaR对应于亏损中第5个最坏的结果，即253385。

图22-3　2008年9月25~26日亏损情形直方图

表22-4　500种情形下的亏损排序（由高到低）

22.1节曾解释过，10天99%的VaR通常是将1天99%的VaR乘以，因此对我们所考虑的例子，10天99%VaR等于

即801274。

在我们的例子中，每天的VaR均要通过最近501天的数据来更新。例如，考虑2008年9月26日（第501天）的情况。所有市场变量都有新数据，因此我们可以计算投资组合新的市场价值，然后通过以上描述的过程来计算新的VaR，在计算中我们采用2006年8月8日到2008年9月26日的市场变量数据（由此我们可以产生501个市场变量百分比变化的观察值，2006年8月7日（即第0天）的数据将不再使用）。类似地，在下一个交易日即2008年9月29日（在502天），我们可以采用2006年8月9日到2008年9月29日（即第2天至第502天）的数据来计算VaR，等等。

在实际中，金融机构的投资组合当然比我们这里考虑的例子要复杂得多。金融机构的投资组合往往是由几千甚至几万个头寸所组成，其中一些比较典型的产品包括远期合约、期权与其他衍生产品，并且每一天投资组合都会发生变化。如果交易造成投资组合的风险增大，投资组合的VaR将会增大；如果交易造成投资组合的风险减小，投资组合的VaR将会减小。金融机构往往会在假定下一个交易日里组合不变的前提下计算VaR。

在VaR计算中常常需要考虑几百个甚至几千个市场变量。就利率而言，在计算投资组合价值时，银行一般需要不同货币下的几种零息利率期限结构。在计算VaR时考虑的市场变量也是决定零息利率期限结构的那些市场变量（见第4章里有关零息利率期限结构的计算），银行存在风险敞口的每个零息利率曲线都可能会涉及多达10个市场变量。

[1] 在这里可以使用不同的方式，比如可以使用第5最大损失、第6最大损失，或两者之间的平均。在Excel中的PERCENTILE函数里，如果共有n个观察值，而且k是整数，则k/（n-1）百分比分位数是排列k+1的观察值。其他的百分比分位数是利用插值来计算的。

[2] 为了使例子尽量简单，我们只考虑当4个指数都有交易的日子。这也是为什么在501个数据中包括2006年8月7日到2008年9月25日。在实际中，如果这里的分析是由美国的金融机构来进行的，这时很可能会设法将不是美国假日的日子里的数据补上。